Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por $, o imposto de renda é cobrado em função da renda mensal do trabalhador da seguinte forma: Isento, se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a $10.000,00; II. 10% sobre a renda, menos 1.000,00, se a renda mensal do trabalhador for superior a $10.000,00 e inferior ou igual a $20.000,00. III. 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador for superior a $20.000,00. Se, para uma renda mensal igual a $x, o trabalhador recolhe I($x) de imposto, então é correto afirmar que:

Análise da Questão

Esta questão envolve o estudo de funções definidas por partes, aplicadas ao contexto de cálculo de imposto de renda progressivo. Para resolver, precisamos montar a função $I(x)$ baseada nas regras apresentadas e analisar suas propriedades (domínio e imagem).

Montagem da Função

Com base no enunciado, podemos definir a função do imposto $I(x)$ em função da renda $x$:

1. Regra I: Se $x \le 10.000$, então $I(x) = 0$.
2. Regra II: Se $10.000 < x \le 20.000$, então $I(x) = 0,10 \cdot x$ (10% da renda).
3. Regra III: Se $x > 20.000$, então $I(x) = 0,20 \cdot x$ (20% da renda).

$$
I(x) = \begin{cases}
0 & \text{se } 0 \le x \le 10.000 \\
0,1x & \text{se } 10.000 < x \le 20.000 \\
0,2x & \text{se } x > 20.000
\end{cases}
$$

(Nota: Assumimos que a renda $x \ge 0$, pois não existe renda negativa).

Análise das Alternativas

Vamos verificar cada item para encontrar a afirmação correta:

A) A função I é uma função constante.

• Incorreto. Uma função constante mantém o mesmo valor de saída para qualquer entrada. Aqui, a taxa de imposto muda (0%, 10%, 20%), logo, o valor do imposto varia conforme a renda.

B) O domínio da função I é $[10.000; +\infty[$.

• Incorreto. O domínio são os valores possíveis de entrada (renda). A regra I cobre rendas "igual ou inferior a \$10.000". Logo, pessoas que ganham menos de 10 mil têm imposto definido (zero). O domínio correto seria $[0; +\infty[$.

C) A imagem da função I é $[0; +\infty[$.

• Incorreto. A imagem são os valores possíveis de saída (valor pago de imposto). Vamos calcular os intervalos de pagamento:
• Se $x \in [0; 10.000] \rightarrow I(x) = 0$. (Imagem: $\{0\}$)
• Se $x \in ]10.000; 20.000] \rightarrow I(x) = 0,1x$.
• Mínimo: $> 0,1 \times 10.000 = 1.000$.
• Máximo: $= 0,1 \times 20.000 = 2.000$.
• Imagem deste trecho: $]1.000; 2.000]$.
• Se $x \in ]20.000; +\infty[ \rightarrow I(x) = 0,2x$.
• Mínimo: $> 0,2 \times 20.000 = 4.000$.
• Imagem deste trecho: $]4.000; +\infty[$.
• Imagem Total: $\{0\} \cup ]1.000; 2.000] \cup ]4.000; +\infty[$.
• A alternativa C sugere que todos os valores entre 0 e infinito são possíveis, mas existem "buracos" (gaps). Por exemplo, não é possível pagar R$ 500,00 de imposto, nem R$ 3.000,00.

D) A imagem da função I é $[0; 1.000] \cup ]4.000; +\infty[$.

• Incorreto. Embora inclua o início e o fim corretos, ela erra no meio. Ela sugere um intervalo contínuo de 0 até 1.000, mas na realidade, o imposto pula diretamente de 0 para valores superiores a 1.000 quando a renda ultrapassa 10.000. Além disso, ela ignora o intervalo de pagamentos entre 1.000 e 2.000.

Conclusão
Como todas as alternativas específicas (A, B, C e D) apresentam erros conceituais ou matemáticos na análise da função, a resposta correta é a que nega as anteriores.

Alternativa E