Matemática Múltipla Escolha

O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q) = -4q² + 1.000q - 12.000 reais, para q variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido:

O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q) = -4q² + 1.000q - 12.000 reais, para q variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido:

  1. R$ 52.000,00
  2. R$ 52.625,00
  3. R$50.775,00
  4. R$ 50.000,00
  5. R$ 50.500,00

Resolução completa

Explicação passo a passo

E
Alternativa E

Alternativa E - R$ 50.500,00

Para encontrar o valor máximo de lucro, precisamos analisar a função quadrática fornecida no enunciado.

Análise Matemática

A função de lucro é dada por:
L(q) = -4q^2 + 1000q - 12.000

Esta é uma função do 2º grau (polinomial), representada graficamente por uma parábola. Como o coeficiente de q^2 (termo a) é negativo (-4), a parábola possui concavidade voltada para baixo, indicando que existe um ponto de máximo (vértice).

Passo 1: Encontrar a quantidade (q) que maximiza o lucro

O valor de q onde ocorre o máximo é a abscissa do vértice (x_v ou q_v), calculada pela fórmula:
q_v = \frac{-b}{2a}

Identificando os coeficientes:

  • a = -4
  • b = 1000
  • c = -12.000

Substituindo na fórmula:
q_v = \frac{-1000}{2 \cdot (-4)}
q_v = \frac{-1000}{-8}
q_v = 125

Ou seja, o lucro máximo ocorre quando são produzidas e vendidas 125 unidades.

Passo 2: Verificar o intervalo

O enunciado estabelece que q varia entre 0 e 180 unidades.
Como $125$ está dentro do intervalo [0, 180], o vértice da parábola é válido para este contexto.

Passo 3: Calcular o valor máximo do lucro (L_{max})

Substituímos q = 125 na função original para encontrar o valor do lucro (y_v):

L(125) = -4(125)^2 + 1000(125) - 12.000

Calculando cada termo:

  • $125^2 = 15.625$
  • -4 \cdot 15.625 = -62.500
  • $1000 \cdot 125 = 125.000$

Montando a conta final:
L(125) = -62.500 + 125.000 - 12.000
L(125) = 62.500 - 12.000
L(125) = 50.500

Portanto, o lucro máximo possível é de R$ 50.500,00.

Conclusão:
A alternativa correta é a E, pois corresponde exatamente ao valor calculado pelo vértice da função quadrática dentro do domínio especificado.

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