Alternativa E - R$ 50.500,00
Para encontrar o valor máximo de lucro, precisamos analisar a função quadrática fornecida no enunciado.
Análise Matemática
A função de lucro é dada por:
L(q) = -4q^2 + 1000q - 12.000
Esta é uma função do 2º grau (polinomial), representada graficamente por uma parábola. Como o coeficiente de q^2 (termo a) é negativo (-4), a parábola possui concavidade voltada para baixo, indicando que existe um ponto de máximo (vértice).
Passo 1: Encontrar a quantidade (q) que maximiza o lucro
O valor de q onde ocorre o máximo é a abscissa do vértice (x_v ou q_v), calculada pela fórmula:
q_v = \frac{-b}{2a}
Identificando os coeficientes:
- a = -4
- b = 1000
- c = -12.000
Substituindo na fórmula:
q_v = \frac{-1000}{2 \cdot (-4)}
q_v = \frac{-1000}{-8}
q_v = 125
Ou seja, o lucro máximo ocorre quando são produzidas e vendidas 125 unidades.
Passo 2: Verificar o intervalo
O enunciado estabelece que q varia entre 0 e 180 unidades.
Como $125$ está dentro do intervalo [0, 180], o vértice da parábola é válido para este contexto.
Passo 3: Calcular o valor máximo do lucro (L_{max})
Substituímos q = 125 na função original para encontrar o valor do lucro (y_v):
L(125) = -4(125)^2 + 1000(125) - 12.000
Calculando cada termo:
- $125^2 = 15.625$
- -4 \cdot 15.625 = -62.500
- $1000 \cdot 125 = 125.000$
Montando a conta final:
L(125) = -62.500 + 125.000 - 12.000
L(125) = 62.500 - 12.000
L(125) = 50.500
Portanto, o lucro máximo possível é de R$ 50.500,00.
Conclusão:
A alternativa correta é a E, pois corresponde exatamente ao valor calculado pelo vértice da função quadrática dentro do domínio especificado.