Alternativa E - R$ 50.500,00
Para encontrar o valor máximo de lucro, precisamos analisar a função quadrática fornecida no enunciado.
Análise Matemática
A função de lucro é dada por:
$$ L(q) = -4q^2 + 1000q - 12.000 $$
Esta é uma função do 2º grau (polinomial), representada graficamente por uma parábola. Como o coeficiente de $q^2$ (termo $a$) é negativo ($-4$), a parábola possui concavidade voltada para baixo, indicando que existe um ponto de máximo (vértice).
Passo 1: Encontrar a quantidade ($q$) que maximiza o lucro
O valor de $q$ onde ocorre o máximo é a abscissa do vértice ($xv$ ou $qv$), calculada pela fórmula:
$$ q_v = \frac{-b}{2a} $$
Identificando os coeficientes:
- $a = -4$
- $b = 1000$
- $c = -12.000$
Substituindo na fórmula:
$$ q_v = \frac{-1000}{2 \cdot (-4)} $$
$$ q_v = \frac{-1000}{-8} $$
$$ q_v = 125 $$
Ou seja, o lucro máximo ocorre quando são produzidas e vendidas 125 unidades.
Passo 2: Verificar o intervalo
O enunciado estabelece que $q$ varia entre 0 e 180 unidades.
Como $125$ está dentro do intervalo $[0, 180]$, o vértice da parábola é válido para este contexto.
Passo 3: Calcular o valor máximo do lucro ($L_{max}$)
Substituímos $q = 125$ na função original para encontrar o valor do lucro ($y_v$):
$$ L(125) = -4(125)^2 + 1000(125) - 12.000 $$
Calculando cada termo:
- $125^2 = 15.625$
- $-4 \cdot 15.625 = -62.500$
- $1000 \cdot 125 = 125.000$
Montando a conta final:
$$ L(125) = -62.500 + 125.000 - 12.000 $$
$$ L(125) = 62.500 - 12.000 $$
$$ L(125) = 50.500 $$
Portanto, o lucro máximo possível é de R$ 50.500,00.
Conclusão:
A alternativa correta é a E, pois corresponde exatamente ao valor calculado pelo vértice da função quadrática dentro do domínio especificado.