Sabendo que P = 2M⁻¹, calcule o determinante de P, sabendo que a matriz M = [[2, 1], [1, -2]].

Alternativa B

Para resolver este problema, precisamos utilizar propriedades fundamentais dos determinantes de matrizes. O objetivo é encontrar o valor de \det(P), dado que P = 2M^{-1}.

Desenvolvimento

1. Calcular o determinante de M
Primeiro, identificamos a matriz M:
M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ é calculado pela fórmula \det(M) = ad - bc:
\det(M) = (2)(-2) - (1)(1)
\det(M) = -4 - 1
\det(M) = -5

2. Aplicar as propriedades dos determinantes
Temos a relação P = 2M^{-1}. Precisamos calcular \det(P). Utilizamos duas propriedades importantes:

• Propriedade da Inversa: O determinante da inversa de uma matriz é o inverso do determinante da matriz original.
  \det(M^{-1}) = \frac{1}{\det(M)}
• Propriedade do Escalar: Se multiplicarmos uma matriz de ordem n por um escalar k, o determinante será multiplicado por k^n.
  \det(k \cdot A) = k^n \cdot \det(A)

3. Cálculo final
Como a matriz M é $2 \times 2$, a ordem n é igual a 2. O escalar k é 2.

Aplicando as propriedades:
\det(P) = \det(2 \cdot M^{-1})
\det(P) = 2^2 \cdot \det(M^{-1})
\det(P) = 4 \cdot \frac{1}{\det(M)}

Substituindo o valor de \det(M) que encontramos anteriormente (-5):
\det(P) = 4 \cdot \frac{1}{-5}
\det(P) = -\frac{4}{5}

Análise

• Matriz M: \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}
• Determinante de M: -5
• Fator Escalar: $2$ (elevado à ordem da matriz, $2^2 = 4$)
• Resultado: $4 \times (-1/5) = -4/5$

O valor calculado é exatamente -\frac{4}{5}, que corresponde à Alternativa B.

Conclusão
A resposta correta é a Alternativa B, pois o determinante de P resulta em -\frac{4}{5}.