Alternativa C
Para encontrar o conjunto imagem de uma função definida por partes, devemos analisar o conjunto de valores que a função assume em cada um de seus intervalos de definição e, em seguida, realizar a união desses conjuntos.
A função dada é:
f(x) = \begin{cases}
-x - 1, & \text{se } x \leq -1 \\
-x^2 + 1, & \text{se } -1 < x < 1 \\
x - 1, & \text{se } x \geq 1
\end{cases}
Vamos analisar cada parte individualmente:
Análise por Partes
- Primeira Parte: Para x \leq -1, temos f(x) = -x - 1.
- Como o coeficiente de x é negativo, esta é uma função decrescente.
- No ponto limite x = -1, temos f(-1) = -(-1) - 1 = 0.
- À medida que x tende a -\infty, -x tende a +\infty.
- Portanto, a imagem deste trecho é [0, +\infty[.
- Segunda Parte: Para -1 < x < 1, temos f(x) = -x^2 + 1.
- Esta é uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente de x^2 é -1).
- O vértice ocorre em x = 0, onde o valor máximo é f(0) = 1.
- Nos limites do intervalo (x \to -1 e x \to 1), o valor da função tende a 0.
- Como o intervalo é aberto, não atingimos o 0, mas atingimos o 1.
- Portanto, a imagem deste trecho é (0, 1].
- Terceira Parte: Para x \geq 1, temos f(x) = x - 1.
- Esta é uma função linear crescente.
- No ponto limite x = 1, temos f(1) = 1 - 1 = 0.
- À medida que x tende a +\infty, f(x) também tende a +\infty.
- Portanto, a imagem deste trecho é [0, +\infty[.
Conclusão
Agora, unimos as imagens encontradas:
\text{Im}(f) = [0, +\infty[ \cup (0, 1] \cup [0, +\infty[
Observando que o intervalo (0, 1] já está contido dentro de [0, +\infty[, a união resulta apenas no maior intervalo:
\text{Im}(f) = [0, +\infty[
Isso corresponde exatamente à alternativa C.