Alternativa C
Para encontrar o conjunto imagem de uma função definida por partes, devemos analisar o conjunto de valores que a função assume em cada um de seus intervalos de definição e, em seguida, realizar a união desses conjuntos.
A função dada é:
$$
f(x) = \begin{cases}
-x - 1, & \text{se } x \leq -1 \\
-x^2 + 1, & \text{se } -1 < x < 1 \\
x - 1, & \text{se } x \geq 1
\end{cases}
$$
Vamos analisar cada parte individualmente:
Análise por Partes
- Primeira Parte: Para $x \leq -1$, temos $f(x) = -x - 1$.
- Como o coeficiente de $x$ é negativo, esta é uma função decrescente.
- No ponto limite $x = -1$, temos $f(-1) = -(-1) - 1 = 0$.
- À medida que $x$ tende a $-\infty$, $-x$ tende a $+\infty$.
- Portanto, a imagem deste trecho é $[0, +\infty[$.
- Segunda Parte: Para $-1 < x < 1$, temos $f(x) = -x^2 + 1$.
- Esta é uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente de $x^2$ é $-1$).
- O vértice ocorre em $x = 0$, onde o valor máximo é $f(0) = 1$.
- Nos limites do intervalo ($x \to -1$ e $x \to 1$), o valor da função tende a 0.
- Como o intervalo é aberto, não atingimos o 0, mas atingimos o 1.
- Portanto, a imagem deste trecho é $(0, 1]$.
- Terceira Parte: Para $x \geq 1$, temos $f(x) = x - 1$.
- Esta é uma função linear crescente.
- No ponto limite $x = 1$, temos $f(1) = 1 - 1 = 0$.
- À medida que $x$ tende a $+\infty$, $f(x)$ também tende a $+\infty$.
- Portanto, a imagem deste trecho é $[0, +\infty[$.
Conclusão
Agora, unimos as imagens encontradas:
$$ \text{Im}(f) = [0, +\infty[ \cup (0, 1] \cup [0, +\infty[ $$
Observando que o intervalo $(0, 1]$ já está contido dentro de $[0, +\infty[$, a união resulta apenas no maior intervalo:
$$ \text{Im}(f) = [0, +\infty[ $$
Isso corresponde exatamente à alternativa C.