Seja f: ℝ → ℝ definida por f(x) = {-x, se x ≤ -1 -x² + 1, se -1 < x < 1 x - 1, se x ≥ 1 , o conjunto imagem de f é dado por:

Alternativa C

Para encontrar o conjunto imagem de uma função definida por partes, devemos analisar o conjunto de valores que a função assume em cada um de seus intervalos de definição e, em seguida, realizar a união desses conjuntos.

A função dada é:
f(x) = \begin{cases} -x - 1, & \text{se } x \leq -1 \\ -x^2 + 1, & \text{se } -1 < x < 1 \\ x - 1, & \text{se } x \geq 1 \end{cases}

Vamos analisar cada parte individualmente:

Análise por Partes

• Primeira Parte: Para x \leq -1, temos f(x) = -x - 1.
• Como o coeficiente de x é negativo, esta é uma função decrescente.
• No ponto limite x = -1, temos f(-1) = -(-1) - 1 = 0.
• À medida que x tende a -\infty, -x tende a +\infty.
• Portanto, a imagem deste trecho é [0, +\infty[.
• Segunda Parte: Para -1 < x < 1, temos f(x) = -x^2 + 1.
• Esta é uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente de x^2 é -1).
• O vértice ocorre em x = 0, onde o valor máximo é f(0) = 1.
• Nos limites do intervalo (x \to -1 e x \to 1), o valor da função tende a 0.
• Como o intervalo é aberto, não atingimos o 0, mas atingimos o 1.
• Portanto, a imagem deste trecho é (0, 1].
• Terceira Parte: Para x \geq 1, temos f(x) = x - 1.
• Esta é uma função linear crescente.
• No ponto limite x = 1, temos f(1) = 1 - 1 = 0.
• À medida que x tende a +\infty, f(x) também tende a +\infty.
• Portanto, a imagem deste trecho é [0, +\infty[.

Conclusão

Agora, unimos as imagens encontradas:
\text{Im}(f) = [0, +\infty[ \cup (0, 1] \cup [0, +\infty[

Observando que o intervalo (0, 1] já está contido dentro de [0, +\infty[, a união resulta apenas no maior intervalo:
\text{Im}(f) = [0, +\infty[

Isso corresponde exatamente à alternativa C.