Seja f: ℝ → ℝ definida por f(x) = {-x, se x ≤ -1 -x² + 1, se -1 < x < 1 x - 1, se x ≥ 1 , o conjunto imagem de f é dado por:

Alternativa C

Para encontrar o conjunto imagem de uma função definida por partes, devemos analisar o conjunto de valores que a função assume em cada um de seus intervalos de definição e, em seguida, realizar a união desses conjuntos.

A função dada é:
$$
f(x) = \begin{cases}
-x - 1, & \text{se } x \leq -1 \\
-x^2 + 1, & \text{se } -1 < x < 1 \\
x - 1, & \text{se } x \geq 1
\end{cases}
$$

Vamos analisar cada parte individualmente:

Análise por Partes

• Primeira Parte: Para $x \leq -1$, temos $f(x) = -x - 1$.
• Como o coeficiente de $x$ é negativo, esta é uma função decrescente.
• No ponto limite $x = -1$, temos $f(-1) = -(-1) - 1 = 0$.
• À medida que $x$ tende a $-\infty$, $-x$ tende a $+\infty$.
• Portanto, a imagem deste trecho é $[0, +\infty[$.
• Segunda Parte: Para $-1 < x < 1$, temos $f(x) = -x^2 + 1$.
• Esta é uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente de $x^2$ é $-1$).
• O vértice ocorre em $x = 0$, onde o valor máximo é $f(0) = 1$.
• Nos limites do intervalo ($x \to -1$ e $x \to 1$), o valor da função tende a 0.
• Como o intervalo é aberto, não atingimos o 0, mas atingimos o 1.
• Portanto, a imagem deste trecho é $(0, 1]$.
• Terceira Parte: Para $x \geq 1$, temos $f(x) = x - 1$.
• Esta é uma função linear crescente.
• No ponto limite $x = 1$, temos $f(1) = 1 - 1 = 0$.
• À medida que $x$ tende a $+\infty$, $f(x)$ também tende a $+\infty$.
• Portanto, a imagem deste trecho é $[0, +\infty[$.

Conclusão

Agora, unimos as imagens encontradas:
$$ \text{Im}(f) = [0, +\infty[ \cup (0, 1] \cup [0, +\infty[ $$

Observando que o intervalo $(0, 1]$ já está contido dentro de $[0, +\infty[$, a união resulta apenas no maior intervalo:
$$ \text{Im}(f) = [0, +\infty[ $$

Isso corresponde exatamente à alternativa C.