Considere as proposições P: ¬p ∨ q e Q: ¬q. É correto afirmar que a proposição P ∧ Q implica logicamente a proposição:

Alternativa A - $\sim p$, por silogismo disjuntivo.

Para resolver esta questão de lógica proposicional, precisamos analisar a relação entre as duas proposições dadas e identificar qual regra de inferência se aplica à sua conjunção.

Análise das Proposições

Primeiro, vamos decompor as proposições fornecidas no enunciado:

• Proposição P: $\sim p \lor (q \land r)$
• Esta é uma disjunção onde o primeiro termo é $\sim p$ e o segundo é $(q \land r)$.
• Proposição Q: $\sim q \lor \sim r$
• Utilizando a Lei de De Morgan, sabemos que a negação de uma conjunção é equivalente à disjunção das negações. Portanto, $\sim q \lor \sim r$ é logicamente equivalente a $\sim (q \land r)$.

Aplicação da Regra de Inferência

Agora, consideramos a conjunção $P \land Q$. Substituindo as formas simplificadas, temos:

1. Premissa 1 (P): $\sim p \lor (q \land r)$
2. Premissa 2 (Q): $\sim (q \land r)$

Observe a estrutura lógica:

• Temos uma disjunção: $A \lor B$ (onde $A = \sim p$ e $B = (q \land r)$).
• Temos a negação do segundo termo da disjunção: $\sim B$.

Isso configura exatamente a forma do Silogismo Disjuntivo. A regra afirma que, se temos "$A$ ou $B$" e sabemos que "$B$ não é verdadeiro", então concluímos necessariamente que "$A$ é verdadeiro".

$$
\frac{A \lor B, \quad \sim B}{\therefore A}
$$

Aplicando aos dados:

• Como $\sim (q \land r)$ é verdadeiro (de Q), o termo $(q \land r)$ em P deve ser falso.
• Para que a disjunção $\sim p \lor (q \land r)$ seja verdadeira, o outro termo ($\sim p$) deve ser obrigatoriamente verdadeiro.

Portanto, a implicação lógica resulta em $\sim p$.

Conclusão

A alternativa correta é a A, pois a conclusão $\sim p$ decorre diretamente da aplicação do silogismo disjuntivo sobre as premissas combinadas. As outras alternativas falham ao utilizar regras inadequadas (como dilema destrutivo) ou chegarem a conclusões incorretas ($p$ em vez de $\sim p$).