Alternativa D - A proposição P é logicamente equivalente à proposição R pela propriedade transitiva.
Introdução à Lógica das Relações
O enunciado apresenta uma cadeia de equivalências entre três proposições lógicas (P, Q e R). Para identificar o correto, precisamos entender como as propriedades das relações de equivalência funcionam.
O problema estabelece dois fatos principais:
- P \Leftrightarrow Q (P é equivalente a Q)
- Q \Leftrightarrow R (Q é equivalente a R)
A conclusão pedida é sobre a relação direta entre P e R.
## Análise Detalhada
Vamos analisar a estrutura lógica apresentada para determinar qual propriedade se aplica:
- Premissa 1: Se temos A equivalente a B.
- Premissa 2: Se temos B equivalente a C.
- Conclusão: Então A é equivalente a C.
Essa estrutura específica define a Propriedade Transitiva (ou Transitividade). Na matemática e na lógica, uma relação é transitiva quando a conexão entre os extremos existe através de um termo intermediário comum.
Por que as outras alternativas estão incorretas?
| Propriedade | Definição Geral | Aplicação ao Caso |
|---|
| Reflexiva | Todo elemento é equivalente a si mesmo (A \Leftrightarrow A). | O caso envolve elementos diferentes (P, Q, R). |
| Simétrica | Se A \Leftrightarrow B, então B \Leftrightarrow A. | O foco não é inverter a ordem, mas encadear. |
| Comutativa | A ordem dos operandos não altera o resultado (A \cdot B = B \cdot A). | Aplica-se a operações, não a cadeias de equivalência. |
| Elemento Neutro | Existe um elemento que não altera o outro (A \circ E = A). | Não se trata de identidade em operações. |
Conclusão
A questão descreve exatamente o cenário da transitividade:
P \Leftrightarrow Q \quad \text{e} \quad Q \Leftrightarrow R \quad \Rightarrow \quad P \Leftrightarrow R
Portanto, a conclusão correta é que a proposição P é logicamente equivalente à proposição R pela propriedade transitiva.
Alternativa D.