As extremidades da barra AB têm de se mover nas trajetórias mostradas na figura. A tem velocidade e aceleração de 8 pés/s e 3 pés/s², respectivamente. Determine a velocidade e a aceleração angulares de AB, nesse instante.

Esta é uma questão clássica de Cinemática de Corpos Rígidos, envolvendo o estudo do movimento de um mecanismo articulado. O objetivo é determinar a velocidade angular (\omega) e a aceleração angular (\alpha) da barra AB em um instante específico.

Análise do Problema

O mecanismo consiste em uma barra AB de comprimento L = 4 pés, cujas extremidades estão presas a guias:

• Ponto A: Desloca-se verticalmente para baixo.
• Ponto B: Desloca-se ao longo de uma trajetória circular (curva) com raio R = 4 pés.

Dados fornecidos:

• Velocidade de A: v_A = 8 pés/s (para baixo).
• Aceleração de A: a_A = 3 pés/s$^2$ (para baixo).
• Geometria: A barra AB forma um ângulo de $30^\circ$ com a vertical. O raio da trajetória de B também forma um ângulo de $30^\circ$ com a vertical.

1. Determinação da Velocidade Angular (\omega)

Utilizamos o Teorema das Velocidades Relativas:
\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A}
Onde \vec{v}_{B/A} = \vec{\omega} \times \vec{r}_{B/A}.

Passo a passo:

1. Definir vetores:

• \vec{v}_A = -8 \hat{j} (vertical para baixo).
• \vec{r}_{B/A}: Posição de B em relação a A. Com $30^\circ$ da vertical:
  \vec{r}_{B/A} = -4 \sin(30^\circ) \hat{i} + 4 \cos(30^\circ) \hat{j} = -2 \hat{i} + 2\sqrt{3} \hat{j}
• \vec{\omega} = \omega \hat{k} (velocidade angular perpendicular ao plano).

1. Calcular \vec{v}_{B/A}:
   \vec{v}_{B/A} = \omega \hat{k} \times (-2 \hat{i} + 2\sqrt{3} \hat{j}) = -2\omega \hat{j} - 2\sqrt{3}\omega \hat{i}
2. Determinar direção de \vec{v}_B:
   Como B move-se em um arco de raio R=4 pés fazendo $30^\circ$ com a vertical, sua velocidade é tangente à curva. A tangente é perpendicular ao raio, formando $30^\circ$ com a horizontal (ou $60^\circ$ com a vertical).
   Vetor unitário da tangente: \hat{u}_t = -\cos(30^\circ) \hat{i} + \sin(30^\circ) \hat{j}.
3. Montar equação vetorial e projetar:
   \vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A}
   v_B (-\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}) = -8 \hat{j} + (-2\sqrt{3}\omega \hat{i} - 2\omega \hat{j})

Igualando componentes em i (horizontal):
-v_B \frac{\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3}\omega \Rightarrow v_B = 4\omega

Igualando componentes em j (vertical):
v_B \frac{1}{2} = -8 - 2\omega
Substituindo v_B = 4\omega:
2\omega = -8 - 2\omega \Rightarrow 4\omega = -8 \Rightarrow \omega = -2 \, \text{rad/s}

O sinal negativo indica sentido horário.

2. Determinação da Aceleração Angular (\alpha)

Utilizamos a Equação de Aceleração Relativa:
\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times \vec{r}_{B/A} - \omega^2 \vec{r}_{B/A}

Passo a passo:

1. Analisar \vec{a}_B:
   Possui componente normal (a_n = v_B^2/R) e tangencial (a_t).

• v_B = 4|\omega| = 8 pés/s.
• a_n = 8^2 / 4 = 16 pés/s$^2$ (direção do raio, para cima-direita).
• \vec{a}_B = a_t \hat{u}_t + a_n \hat{u}_n.

1. Montar equação vetorial:

• \vec{a}_A = -3 \hat{j}.
• Termo centrípeto: -\omega^2 \vec{r}_{B/A} = -4 (-2 \hat{i} + 2\sqrt{3} \hat{j}) = 8 \hat{i} - 8\sqrt{3} \hat{j}.
• Termo de Euler: \vec{\alpha} \times \vec{r}_{B/A} = -2\alpha \hat{j} - 2\sqrt{3}\alpha \hat{i}.

Somando tudo para obter \vec{a}_B expresso em \alpha:
\vec{a}_B = (8 - 2\sqrt{3}\alpha) \hat{i} + (-3 - 2\alpha - 8\sqrt{3}) \hat{j}

1. Resolver sistema:
   Igualando às componentes da aceleração de B (normal + tangencial), obtemos um sistema linear.
   Após cálculos detalhados (substituindo a_t = 4\alpha obtido da projeção horizontal):
   \alpha = -\frac{3 + 16\sqrt{3}}{4} \approx -7.67 \, \text{rad/s}^2

Análise Final

• Velocidade Angular (\omega): O módulo é $2$ rad/s. O sinal negativo indica rotação horária.
• Aceleração Angular (\alpha): O módulo é aproximadamente $7.7$ rad/s$^2$. O sinal negativo indica que a aceleração angular também é horária neste instante.

Alternativa correta (conceitual):
A questão é aberta, mas os resultados numéricos calculados são:

• \omega = 2 rad/s
• \alpha \approx 7.7 rad/s$^2$