Análise do Problema de Mecânica dos Fluidos
Enunciado e Dados
Este problema envolve cálculo de potência em sistema de bombeamento com perda de carga por atrito. Vamos analisar os dados fornecidos:
| Parâmetro | Valor | Unidade |
|---|
| Diâmetro da tubulação (D) | 0,60 | m |
| Comprimento (L) | 220 | m |
| Desnível (Δz) | 250 | m (descarga ABAIXO da entrada) |
| Pressão de descarga (P₂) | 300 | kPa |
| Pressão de entrada (P₁) | 0 (atm) | kPa (manométrica) |
| Densidade do óleo (ρ) | 810 | kg/m³ |
| Viscosidade cinemática (ν) | 4,5×10⁻⁶ | m²/s |
| Vazão (Q) | 0,56 | m³/s |
Desenvolvimento
Passo 1: Calcular a velocidade do escoamento
A área da seção transversal é:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0,60)^2}{4} = 0,2827 \text{ m}^2
A velocidade média:
v = \frac{Q}{A} = \frac{0,56}{0,2827} = 1,98 \text{ m/s}
Passo 2: Calcular o Número de Reynolds
Re = \frac{vD}{\nu} = \frac{1,98 \times 0,60}{4,5 \times 10^{-6}} = 264.000
Como Re > 4000, o escoamento é turbulento.
Passo 3: Determinar o fator de atrito
Para aço comercial, rugosidade absoluta ε ≈ 0,046 mm = 0,000046 m
Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{0,000046}{0,60} = 7,67 \times 10^{-5}
Usando o Diagrama de Moody ou equação de Colebrook para Re = 264.000 e ε/D = 7,67×10⁻⁵:
f ≈ 0,015
Passo 4: Calcular a perda de carga majoritária
h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{v^2}{2g} = 0,015 \cdot \frac{220}{0,60} \cdot \frac{(1,98)^2}{2 \times 9,81}
h_f = 0,015 \cdot 366,67 \cdot 0,1996 \approx 1,10 \text{ m}
Passo 5: Aplicar a Equação de Bernoulli com bomba
\frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 + h_b = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_f
Como D é constante: v₁ = v₂
Isolando a altura manométrica da bomba (h_b):
h_b = \frac{P_2 - P_1}{\rho g} + (z_2 - z_1) + h_f
Substituindo valores:
h_b = \frac{300.000}{810 \times 9,81} + (-250) + 1,10
h_b = 37,80 - 250 + 1,10 = -211,10 \text{ m}
Passo 6: Calcular a Potência
P = \rho g Q h_b = 810 \times 9,81 \times 0,56 \times (-211,10)
P \approx -937.000 \text{ W} = -937 \text{ kW}
## Análise
- O resultado negativo indica que não há necessidade de bomba neste cenário
- Como a estação de descarga está 250 m abaixo da montante, a gravidade auxilia o escoamento
- Esta configuração descreve mais um sistema de turbina (geração de energia) do que de bombeamento
- Em concursos, verifique se o enunciado não tem erro na posição relativa das estações
- Se a descarga estivesse acima, o sinal seria positivo e representaria potência real necessária
Conclusão
Com base nos dados fornecidos, o cálculo matemático resulta em uma potência negativa, indicando que o sistema produz energia em vez de consumir. Para uma situação real de bombeamento onde a descarga estaria acima da entrada, a fórmula seria aplicada normalmente com resultado positivo.
Observação importante: Verifique se as alternativas disponíveis consideram este aspecto físico ou se houve inversão nas posições das estações no enunciado original.