Alternativa D - \theta = 73,398^\circ
Para encontrar o ângulo entre dois vetores usando o produto vetorial, utilizamos a relação fundamental que conecta a magnitude do vetor resultante ao seno do ângulo entre eles.
Identificação dos Vetores
Primeiro, definimos os vetores a partir das coordenadas dos pontos fornecidos na origem:
\vec{u} = P(1, 2, 3) = (1, 2, 3)
\vec{v} = Q(-1, -2, 3) = (-1, -2, 3)
Cálculo das Módulos
Calculamos a norma (comprimento) de cada vetor individualmente para usar na fórmula:
|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}
|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}
O produto das normas é:
|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| = \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = 14
Produto Vetorial
Calculamos o vetor produto cruzado (\vec{u} \times \vec{v}) utilizando o determinante da matriz formada pelos vetores unitários e as componentes:
\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 3 \end{vmatrix}
- Componente i: (2)(3) - (3)(-2) = 6 + 6 = 12
- Componente j: -[(1)(3) - (3)(-1)] = -(3 + 3) = -6
- Componente k: (1)(-2) - (2)(-1) = -2 + 2 = 0
O vetor resultante é \vec{w} = (12, -6, 0).
A magnitude deste vetor é:
|\vec{w}| = \sqrt{12^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180}
Simplificando: \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}.
Cálculo do Ângulo
Utilizamos a fórmula do módulo do produto vetorial:
|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin(\theta)
Substituindo os valores:
6\sqrt{5} = 14 \cdot \sin(\theta)
\sin(\theta) = \frac{6\sqrt{5}}{14} = \frac{3\sqrt{5}}{7}
Calculando o valor numérico:
\sin(\theta) \approx \frac{3 \times 2,236}{7} \approx 0,9583
\theta = \arcsin(0,9583) \approx 73,398^\circ
Conclusão: O cálculo confirma que o ângulo é aproximadamente $73,398^\circ$, correspondendo à alternativa D.