Alternativa C
Introdução
Esta questão envolve Mecânica dos Fluidos, especificamente o cálculo de potência para uma bomba hidráulica. Para resolver, precisamos aplicar o Princípio de Bernoulli estendido para sistemas com máquinas (bombas), considerando a conservação de energia entre a entrada e a saída do sistema.
A potência necessária para bombear um fluido é dada pela variação total de energia que ele sofre (pressão + velocidade), multiplicada pela vazão mássica ou volumétrica.
Desenvolvimento Passo a Passo
1. Conversão de Unidades para o Sistema Internacional (SI)
Antes de calcular, padronizamos todas as grandezas:
- Vazão (Q): $58 \, m^3/h$. Precisamos converter para m^3/s.
Q = \frac{58}{3600} \approx 0,01611 \, m^3/s - Pressões (p_1, p_2): Já estão em kPa, convertemos para Pa (N/m^2).
p_1 = 120.000 \, Pa
p_2 = 325.000 \, Pa - Áreas (A_1, A_2): Convertemos de cm^2 para m^2 (dividir por $10.000$).
A_1 = 60 \, cm^2 = 0,006 \, m^2
A_2 = 7 \, cm^2 = 0,0007 \, m^2 - Densidade da água (\rho): À temperatura de $20^\circ C$, assumimos \rho \approx 1000 \, kg/m^3.
2. Cálculo das Velocidades
Usamos a equação da continuidade (Q = A \cdot v) para encontrar a velocidade do fluxo em cada bocal.
- Velocidade de Entrada (v_1):
v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0,01611}{0,006} \approx 2,685 \, m/s - Velocidade de Saída (v_2):
v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0,01611}{0,0007} \approx 23,016 \, m/s
Observamos que a velocidade de saída é muito maior devido à redução drástica da área do bocal.
3. Aplicação do Balanço de Energia (Equação de Bernoulli com Bomba)
Como a bomba é horizontal, não há diferença de altura (z_1 = z_2). Desprezando perdas, a equação de energia por unidade de volume (Pressão Total) fica:
P_{potência} = Q \cdot \left[ (p_2 - p_1) + \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) \right]
Onde:
- Variação de Pressão Estática (\Delta p):
\Delta p = 325.000 - 120.000 = 205.000 \, Pa - Variação de Pressão Dinâmica (Energia Cinética):
\Delta p_{cin} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (23,016^2 - 2,685^2)
\Delta p_{cin} = 500 \cdot (529,73 - 7,21) \approx 261.260 \, Pa
4. Cálculo Final da Potência
Somamos as variações de pressão e multiplicamos pela vazão:
P_{potência} = Q \cdot (\Delta p + \Delta p_{cin})
P_{potência} = 0,01611 \cdot (205.000 + 261.260)
P_{potência} = 0,01611 \cdot 466.260
P_{potência} \approx 7.510 \, Watts
Convertendo para quilowatts (kW):
P \approx 7,51 \, kW
Análise das Alternativas
| Grandeza | Valor Calculado |
|---|
| Variação de Pressão Estática | 3,30 kW |
| Variação de Energia Cinética | 4,21 kW |
| Potência Total | ~7,51 kW |
A alternativa correta deve ser a mais próxima do valor calculado.
- (A) 9,3
- (B) 2,3
- (C) 7,4 (Mais próximo de 7,51)
- (D) 3,2 (Corresponde apenas à parte da pressão estática)
- (E) 4,2 (Corresponde apenas à parte da energia cinética)
A pequena diferença entre 7,51 kW e 7,4 kW pode ser atribuída a arredondamentos nas constantes físicas ou na conversão da vazão durante a elaboração da questão original. Contudo, a lógica física exige a soma dos dois termos, tornando a opção C a única viável.
Conclusão
A potência da bomba é determinada tanto pelo aumento de pressão quanto pelo aumento da velocidade do fluido. O resultado obtido aponta para a Alternativa C.