Uma sonda interestelar viaja em linha reta do Sol em direção à uma estrela Anā Vermelha próxima do nosso Sistema Solar, localizada a uma distância de 5,2 anos-luz de nós. Sabemos que o brilho aparente (b) de uma estrela depende de sua Luminosidade intrínseca (L) e da distância (d) do observador à estrela, seguindo a lei: b = L/(4pi * d ^ 2). Considere os seguintes dados: A luminosidade da estrela (Le) é muito menor que a do Sol (L Sol ) L E =0,0016 L Sol. A distância total entre as duas estrelas é D = 5, 2 anos-luz. A que distância, X, do Sol, em anos-luz, a sonda deve estar para que o brilho aparente do Sol e o da estrela Anā Vermelha, sejam idênticos para os sensores da nave?

Alternativa A

Este problema envolve a aplicação da Lei do Inverso do Quadrado da Distância para intensidade luminosa. O objetivo é encontrar o ponto onde o brilho aparente de duas fontes estelares se iguala para um observador intermediário.

Desenvolvimento

A luminosidade aparente diminui à medida que a distância aumenta. Para que os brilhos sejam idênticos, a relação entre as luminosidades intrínsecas deve compensar exatamente a diferença nas distâncias percorridas pela luz até a sonda.

Definimos X como a distância da sonda ao Sol e (D - X) como a distância da sonda à estrela vermelha, onde D = 5,2 anos-luz.

Analise

• Lei Física Aplicada: O brilho aparente b segue a fórmula b = \frac{L}{4\pi d^2}, onde L é a luminosidade e d é a distância.
• Condição de Igualdade: Para brilhar igualmente, devemos ter b_{\text{Sol}} = b_{\text{Estrela}}.
  \frac{L_{\text{Sol}}}{4\pi X^2} = \frac{L_{\text{Estrela}}}{4\pi (D - X)^2}
• Relação de Luminosidade: Sabemos que L_{\text{Estrela}} = 0,0016 \cdot L_{\text{Sol}}. Substituindo na equação:
  \frac{L_{\text{Sol}}}{X^2} = \frac{0,0016 \cdot L_{\text{Sol}}}{(5,2 - X)^2}
• Simplificação: Cancelando L_{\text{Sol}} e $4\pi$, isolamos as variáveis de distância:
  \frac{1}{X^2} = \frac{0,0016}{(5,2 - X)^2}
• Raiz Quadrada: Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para resolver a incógnita X:
  \frac{1}{X} = \frac{\sqrt{0,0016}}{5,2 - X}
  Como \sqrt{0,0016} = 0,04, temos:
  \frac{1}{X} = \frac{0,04}{5,2 - X}
• Cálculo Final: Realizando a multiplicação cruzada:
  5,2 - X = 0,04 X
  5,2 = 1,04 X
  X = \frac{5,2}{1,04} = 5,0

Conclusão

O cálculo demonstra matematicamente que a sonda deve estar a exatos 5,0 anos-luz do Sol para receber a mesma quantidade de energia luminosa das duas estrelas. Portanto, a alternativa correta é a A.