Sobre continuidade de função, determine: 2.x-1; x ≤ 3 a) A função f(x)= é contínua no ponto x = 3? 3.x-4; x > 3 (x² + 1 se x 2 b) A função sex 2 é contínua no ponto x = 2? (x + 1 sex > 2 (x² + 1 se x < 1 c) A função 34 sex 1 é contínua no ponto x = 1? 2x se x > 1 Obtenha o limite da função abaixo, usando as propriedades: x²-4x+3 a) lim x 1 x2-1 x+5 Uma empresa de móveis de compensado tem sua função receita média por unidade vendida dada por: R(x) = 500x, onde x é a quantidade de unidades vendidas e R(x) é a receita média por unidade (em reais). Tendo como base essas informações, responda justificando sua resposta.

Resolução de Questões de Cálculo - Continuidade e Limites

Introdução

Estas questões abordam conceitos fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral, especificamente sobre continuidade de funções e limites. Vou analisar cada item sistematicamente.

Análise das Questões

Questão 4) Continuidade de Funções

Para uma função ser contínua em um ponto x = a, três condições devem ser satisfeitas:

4a) Função f(x) = \begin{cases} 2x-1 & \text{se } x \leq 3 \\ 3x-4 & \text{se } x > 3 \end{cases} no ponto x = 3

Verificação:

1. Valor da função em x = 3:
   f(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5
2. Limite pela esquerda (x \to 3^-):
   \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x - 1) = 2(3) - 1 = 5
3. Limite pela direita (x \to 3^+):
   \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (3x - 4) = 3(3) - 4 = 9 - 4 = 5
4. Comparação:
   \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = 5

Conclusão: A função É CONTÍNUA em x = 3.

4b) Função f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{se } x < 2 \\ x + 1 & \text{se } x \geq 2 \end{cases} no ponto x = 2

Verificação:

1. Valor da função em x = 2:
   f(2) = 2 + 1 = 3
2. Limite pela esquerda (x \to 2^-):
   \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5
3. Limite pela direita (x \to 2^+):
   \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x + 1) = 2 + 1 = 3
4. Comparação:
   \lim_{x \to 2^-} f(x) = 5 \neq \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3

Conclusão: Os limites laterais são diferentes, logo a função NÃO É CONTÍNUA em x = 2. Há uma descontinuidade de salto.

4c) Função f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{se } x < 1 \\ 2x & \text{se } x > 1 \end{cases} no ponto x = 1

Verificação:

1. Valor da função em x = 1:
   A função não está definida para x = 1 (ambos os casos são < ou >, sem incluir o igual)
2. Como f(1) não existe:

Conclusão: A função NÃO É CONTÍNUA em x = 1 porque não está definida no ponto.

Questão 5) Limite de Função

Calcule: \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}

Passo a passo:

1. Teste direto (substituição):
   \frac{1^2 - 4(1) + 3}{1^2 - 1} = \frac{1 - 4 + 3}{1 - 1} = \frac{0}{0}

Formada uma indeterminação \frac{0}{0}.

1. Fatorar numerador e denominador:

Numerador: x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

Denominador: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

1. Simplificar:
   \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x + 1}
2. Substituir novamente:
   \frac{1 - 3}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1

Resultado: \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1} = -1

Questão 6) Assíntotas na Função Receita Média

Função: R(x) = \frac{500}{x} onde x é quantidade vendida e R(x) é receita média por unidade.

a) Existe alguma assíntota?

Sim, existem assíntotas. Para identificar, analisamos o comportamento nos extremos.

b) Qual o tipo dela (vertical, horizontal ou ambas)?

Justificativa:

1. Assíntota Vertical:
   \lim_{x \to 0^+} \frac{500}{x} = +\infty
   A função cresce ilimitadamente quando x se aproxima de 0.
2. Assíntota Horizontal:
   \lim_{x \to \infty} \frac{500}{x} = 0
   Quando x tende ao infinito, R(x) tende a 0.

Resposta: Existem AMBAS as assíntotas (vertical e horizontal).

c) Interprete a assíntota no contexto econômico

Interpretação:

• Assíntota vertical (x = 0): Representa que quando a produção/quantidadedivenda é próxima de zero, o custo/receita média por unidade tende ao infinito. Isso faz sentido economicamente pois custos fixos são diluídos em poucas unidades.
• Assíntota horizontal (y = 0): Representa que à medida que aumenta muito a quantidade vendida, a receita média por unidade tende a zero. Isso indica economias de escala onde cada unidade adicional contribui menos para a receita média.

Conclusão