Avalie as afirmações a seguir: I – A equação y''(t) + y'(t) = 0 possui Wronskiano W = -e⁻ᵗ II – A equação y''(t) + y(t) = 0 possui Wronskiano W = cos² t – sen² t III – A equação y''(t) + 3y'(t) – 4y(t) = 0 possui Wronskiano W = -5e⁻³ᵗ IV – A equação y''(t) – y(t) = 0 possui Wronskiano W = e⁻ᵗ . eᵗ

Alternativa [I e III]

A questão aborda o conceito de Wronskiano, um determinante utilizado para verificar a independência linear de soluções de equações diferenciais lineares homogêneas. Para determinar a veracidade das afirmativas, calculamos o Wronskiano para cada equação diferencial ordinária (EDO) apresentada.

Introdução ao Wronskiano

O Wronskiano W de duas funções y_1(t) e y_2(t) é definido como:
W(y_1, y_2) = y_1 y_2' - y_2 y_1'

Se W \neq 0, as funções são linearmente independentes e formam uma base para a solução geral da EDO.

Desenvolvimento da Análise

Vamos analisar cada afirmativa passo a passo.

Afirmação I

• Equação: y''(t) + y'(t) = 0
• Equação Característica: r^2 + r = 0 \Rightarrow r(r + 1) = 0.
• Raízes: r_1 = 0 e r_2 = -1.
• Soluções Fundamentais: y_1(t) = e^{0t} = 1 e y_2(t) = e^{-t}.
• Derivadas: y_1' = 0 e y_2' = -e^{-t}.
• Cálculo do Wronskiano:
  W = (1)(-e^{-t}) - (e^{-t})(0) = -e^{-t}
• Conclusão: A afirmativa está Correta.

Afirmação II

• Equação: y''(t) + y(t) = 0
• Equação Característica: r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm i.
• Soluções Fundamentais: y_1(t) = \cos t e y_2(t) = \sin t.
• Derivadas: y_1' = -\sin t e y_2' = \cos t.
• Cálculo do Wronskiano:
  W = (\cos t)(\cos t) - (\sin t)(-\sin t) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1
• Conclusão: A afirmativa afirma que W = \cos^2 t - \sin^2 t, portanto está Incorreta.

Afirmação III

• Equação: y''(t) + 3y'(t) - 4y(t) = 0
• Equação Característica: r^2 + 3r - 4 = 0 \Rightarrow (r + 4)(r - 1) = 0.
• Raízes: r_1 = 1 e r_2 = -4.
• Soluções Fundamentais: y_1(t) = e^t e y_2(t) = e^{-4t}.
• Derivadas: y_1' = e^t e y_2' = -4e^{-4t}.
• Cálculo do Wronskiano:
  W = (e^t)(-4e^{-4t}) - (e^{-4t})(e^t) = -4e^{-3t} - e^{-3t} = -5e^{-3t}
• Conclusão: A afirmativa está Correta.

Afirmação IV

• Equação: y''(t) - y(t) = 0
• Equação Característica: r^2 - 1 = 0 \Rightarrow r = \pm 1.
• Soluções Fundamentais: y_1(t) = e^t e y_2(t) = e^{-t}.
• Derivadas: y_1' = e^t e y_2' = -e^{-t}.
• Cálculo do Wronskiano:
  W = (e^t)(-e^{-t}) - (e^{-t})(e^t) = -1 - 1 = -2
• Conclusão: A afirmativa afirma que W = e^{-t} \cdot e^t = 1, portanto está Incorreta.

Resumo Comparativo

Conclusão

As únicas afirmativas corretas são a I e a III. Embora as opções de múltipla escolha não tenham sido exibidas na imagem, a resposta correta corresponde à combinação dessas duas assertivas.