A imagem apresentada contém uma Integral de Linha Fechada (também conhecida como integral curvilínea sobre um caminho fechado). A expressão é: $$\oint_\omega y^2 x \, dx + x \, dy$$

Identificação da Expressão

A imagem apresentada contém uma Integral de Linha Fechada (também conhecida como integral curvilínea sobre um caminho fechado).

A expressão é:
\oint_\omega y^2 x \, dx + x \, dy

O símbolo \oint indica que a integração ocorre ao longo de uma curva fechada \omega. O termo dx está associado à componente horizontal e dy à componente vertical do vetor campo.

Componentes do Campo Vetorial

Para analisar essa integral, podemos identificar as funções P(x, y) e Q(x, y) que compõem o campo vetorial \vec{F} = \langle P, Q \rangle:

• Componente P (associada a dx): P(x, y) = y^2 x
• Componente Q (associada a dy): Q(x, y) = x

Aplicação do Teorema de Green

Em problemas típicos de cálculo onde se pede para avaliar ou simplificar essa expressão, utiliza-se frequentemente o Teorema de Green. Este teorema converte uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.

A fórmula geral é:
\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA

Calculando as derivadas parciais necessárias:

1. Derivada de Q em relação a x:
   \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1
2. Derivada de P em relação a y:
   \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^2 x) = 2xy

Substituindo na fórmula do Teorema de Green, a integral dupla resultante seria:
\iint_D (1 - 2xy) \, dA

Conclusão e Observações

A questão apresentada na imagem é uma expressão matemática, mas não fornece os dados necessários para um resultado numérico final. Para resolver completamente, seria necessário definir:

• A curva $\omega$: Qual é o caminho fechado? (Ex: círculo unitário, quadrado, elipse?)
• A região $D$: O domínio limitado por essa curva para aplicar a integral dupla.

Sem essas informações, apenas a preparação do problema via Teorema de Green pode ser realizada, resultando na integral dupla de (1 - 2xy) sobre a região desconhecida.