A análise de um sistema pode ser realizada se o modelo matemático que define seu sistema físico, for conhecido. Dessa forma, seu desempenho pode ser avaliado em função do estimulo recebido, ou seja, resposta à entrada. Considerando a função de transferência do sistema abaixo, os pólos desse sistema estão localizados em: T(s) = Y(s)/R(s) = 4/(s² + 2s + 4)

Alternativa E

Para determinar a localização dos pólos de um sistema de controle, devemos analisar a função de transferência fornecida e encontrar as raízes do seu denominador.

Conceitos Fundamentais

• Função de Transferência: Relação entre a saída Y(s) e a entrada R(s) no domínio de Laplace.
• Pólos do Sistema: São as raízes da equação característica, ou seja, os valores de s que fazem o denominador da função de transferência ser nulo. Eles determinam a estabilidade e a dinâmica do sistema.
• Equação Característica: Obtida fazendo o denominador igual a zero.

Resolução Passo a Passo

1. Identificar o denominador:
   A função de transferência é dada por:
   T(s) = \frac{4}{s^2 + 2s + 4}
2. Igualar o denominador a zero:
   Para encontrar os pólos (s), resolvemos a equação quadrática:
   s^2 + 2s + 4 = 0
3. Aplicar a fórmula de Bhaskara:
   Onde a = 1, b = 2 e c = 4.
   s = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Calculando o discriminante (\Delta):
\Delta = b^2 - 4ac
\Delta = 2^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12

Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas conjugadas. O termo \sqrt{-12} torna-se j\sqrt{12}, onde j é a unidade imaginária.
\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1,732 = 3,464

1. Calcular as raízes finais:
   Substituindo na fórmula principal:
   s = \frac{-2 \pm j\sqrt{12}}{2}
   s = \frac{-2 \pm j(2\sqrt{3})}{2}
   Dividindo ambos os termos pelo denominador $2$:
   s = -1 \pm j\sqrt{3}

Sabendo que \sqrt{3} \approx 1,732:
s_{1,2} = -1 \pm j1,732

Conclusão

Os pólos do sistema estão localizados em -1 (parte real) e \pm j1,732 (parte imaginária). Isso corresponde exatamente à Alternativa E.