A circular ring with radius r is given a uniform electrical charge, the total charge being unitary. The force exerted by the ring on a unit charge at a distance x from the center of the ring and perpendicular to the plane of the ring is F(x) = x(x² + r²)^-3/2. For x > 0, the point at which the force is maximum is:

Alternativa B - x = r/\sqrt{2}

Introdução

Esta questão envolve Cálculo Diferencial aplicado à Física. O objetivo é encontrar o valor de x que maximiza a função de força F(x). Para isso, precisamos utilizar o conceito de derivada para encontrar pontos críticos (onde a inclinação da curva é zero).

A função dada é:
F(x) = x(x^2 + r^2)^{-3/2}

Desenvolvimento

Para encontrar o ponto de máximo, devemos derivar a função em relação a x e igualar a zero (F'(x) = 0).

Utilizamos a regra do produto para diferenciar F(x), onde u = x e v = (x^2 + r^2)^{-3/2}:

1. Derivada de u: u' = 1
2. Derivada de v: Aplicamos a regra da cadeia.
   v' = -\frac{3}{2}(x^2 + r^2)^{-5/2} \cdot (2x) = -3x(x^2 + r^2)^{-5/2}

Montando a equação da derivada total:
F'(x) = 1 \cdot (x^2 + r^2)^{-3/2} + x \cdot [-3x(x^2 + r^2)^{-5/2}]

Simplificando:
F'(x) = (x^2 + r^2)^{-3/2} - 3x^2(x^2 + r^2)^{-5/2}

Análise

Para facilitar a resolução, fatoramos o termo comum (x^2 + r^2)^{-5/2}:

• Igualamos a zero:
  (x^2 + r^2)^{-5/2} \left[ (x^2 + r^2) - 3x^2 \right] = 0
• Como (x^2 + r^2)^{-5/2} nunca será zero, focamos na parte entre colchetes:
  (x^2 + r^2) - 3x^2 = 0
• Simplificando os termos semelhantes (x^2 - 3x^2 = -2x^2):
  r^2 - 2x^2 = 0
• Isolando x:
  2x^2 = r^2
  x^2 = \frac{r^2}{2}
  x = \frac{r}{\sqrt{2}}

Como o enunciado especifica x > 0, descartamos a solução negativa.

Conclusão

O ponto onde a força é máxima ocorre quando x é igual ao raio dividido por \sqrt{2}. Isso corresponde à Alternativa (b).