A deflexão de uma viga é dada por y(x)=0.001x³-0.01x²+0.05x. Use diferenças finitas centradas com h=0.1 para calcular a inclinação (dy/dx) no ponto x=2.

Esta imagem contém um conjunto de 5 exercícios práticos sobre Métodos Numéricos, especificamente aplicando fórmulas de Diferenças Finitas para aproximar derivadas de funções dadas.

Como não há alternativas de múltipla escolha (A, B, C...), trata-se de uma série de Questões Abertas. Abaixo, apresento a resolução detalhada da Questão 1, que utiliza o método de Diferenças Finitas Centradas, servindo como base para entender a lógica aplicada nos demais itens.

Resolução da Questão 1

Enunciado: A deflexão de uma viga é dada por y(x) = 0.001x^3 - 0.01x^2 + 0.05x. Use diferenças finitas centradas com h=0.1 para calcular a inclinação (dy/dx) no ponto x=2.

1. Conceito Teórico

O método de Diferenças Finitas Centradas fornece uma aproximação da derivada de uma função f(x) utilizando pontos equidistantes à frente e atrás do ponto de interesse.

A fórmula geral é:
f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}

• x: ponto onde queremos a inclinação.
• h: passo de discretização.
• f(x+h): valor da função à direita.
• f(x-h): valor da função à esquerda.

2. Dados do Problema

• Função: y(x) = 0.001x^3 - 0.01x^2 + 0.05x
• Ponto de avaliação: x = 2
• Passo: h = 0.1
• Pontos necessários: x+h = 2.1 e x-h = 1.9

3. Cálculo dos Valores Intermediários

Primeiro, calculamos a função no ponto à direita (x = 2.1):
y(2.1) = 0.001(2.1)^3 - 0.01(2.1)^2 + 0.05(2.1)
y(2.1) = 0.001(9.261) - 0.01(4.41) + 0.105
y(2.1) = 0.009261 - 0.0441 + 0.105 = 0.070161

Em seguida, calculamos a função no ponto à esquerda (x = 1.9):
y(1.9) = 0.001(1.9)^3 - 0.01(1.9)^2 + 0.05(1.9)
y(1.9) = 0.001(6.859) - 0.01(3.61) + 0.095
y(1.9) = 0.006859 - 0.0361 + 0.095 = 0.065759

4. Aplicação da Fórmula de Derivação

Substituindo os valores na fórmula da diferença finita centrada:
\frac{dy}{dx} \approx \frac{y(2.1) - y(1.9)}{2(0.1)}
\frac{dy}{dx} \approx \frac{0.070161 - 0.065759}{0.2}
\frac{dy}{dx} \approx \frac{0.004402}{0.2}
\frac{dy}{dx} \approx 0.02201

Conclusão

A inclinação da viga no ponto x=2, calculada numericamente, é aproximadamente 0.02201.

(Nota: Para verificação, a derivada analítica exata seria y'(x) = 0.003x^2 - 0.02x + 0.05. Avaliando em x=2, temos y'(2) = 0.012 - 0.04 + 0.05 = 0.022. O erro entre o valor numérico e o analítico é desprezível).