A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância ao centro do círculo de raio α ou seja, ρ(x, y) = κ√x² + y² Calcule a massa dessa placa utilizando coordenadas polares e a definição de massa, ou seja, m = ∬D ρ(x, y)dA

Alternativa A

Para resolver este problema, precisamos calcular a massa da lâmina integrando a função de densidade sobre a região definida. O problema solicita o uso de coordenadas polares, o que simplifica significativamente os cálculos devido à simetria circular da lâmina.

Passo a Passo da Resolução

1. Identificação das Variáveis:

• Raio: O enunciado menciona raio \alpha, mas nas opções aparece a. Assumimos que são equivalentes (\alpha = a).
• Constante de Proporcionalidade: O enunciado usa \kappa (kappa), enquanto as opções usam k. Assumimos equivalência (\kappa = k).
• Densidade: \rho(x,y) = k\sqrt{x^2 + y^2}. Em coordenadas polares, sabemos que \sqrt{x^2 + y^2} = r. Portanto, \rho(r, \theta) = k \cdot r.

1. Elemento de Área (dA):
   Em coordenadas cartesianas, a área é dx\,dy. Ao mudar para coordenadas polares, devemos incluir o Jacobianiano, que representa a mudança de escala da área.
   dA = r \, dr \, d\theta
2. Limites de Integração:

• Variável r (distância ao centro): Varia de 0 até o raio da lâmina ($0 \leq r \leq a$).
• Variável \theta (ângulo): Como a lâmina é semicircular, o ângulo percorre meia volta completa, ou seja, de 0 a \pi ($0 \leq \theta \leq \pi$).

1. Montagem da Integral:
   A fórmula da massa é dada por:
   m = \iint_D \rho(x,y) \, dA

Substituindo os termos em coordenadas polares:
m = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} (k \cdot r) \cdot (r \, dr \, d\theta)
m = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} k \cdot r^2 \, dr \, d\theta

1. Cálculo da Integral:
   Primeiro, integramos em relação a r:
   \int_{0}^{a} k \cdot r^2 \, dr = k \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^a = k \frac{a^3}{3}

Depois, integramos o resultado em relação a \theta:
m = \int_{0}^{\pi} k \frac{a^3}{3} \, d\theta

Como o termo não depende de \theta, basta multiplicar pelo intervalo angular (\pi):
m = k \frac{a^3}{3} \cdot \pi = \frac{k \pi a^3}{3}

Análise das Alternativas

A alternativa A apresenta exatamente o resultado encontrado: \frac{k \pi a^3}{3}.