A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário e o vetor gradiente estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função f(x,y) = 2x² - y² - 3x + y no ponto P(1,1).

Alternativa A

Para resolver esta questão, precisamos encontrar o vetor gradiente da função no ponto especificado e, em seguida, normalizá-lo para obter o vetor unitário.

Conceitos Fundamentais

• Vetor Gradiente (\nabla f): Indica a direção e o sentido de maior crescimento de uma função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
• Derivada Direcional Máxima: Ocorre quando movemos na mesma direção e sentido do vetor gradiente.
• Vetor Unitário: Um vetor com módulo igual a 1, obtido dividindo-se o vetor original pelo seu próprio módulo.

Resolução Passo a Passo

1. Calcular as Derivadas Parciais

Dada a função f(x, y) = 2x^2 - y^2 - 3x + y, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y:

• Em relação a x:
  \frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 3
  (Note que y é tratado como constante)
• Em relação a y:
  \frac{\partial f}{\partial y} = -2y + 1
  (Note que x é tratado como constante)

Assim, o vetor gradiente genérico é:
\nabla f(x, y) = (4x - 3, -2y + 1)

2. Avaliar o Gradiente no Ponto P(-1, 1)

Substituímos os valores x = -1 e y = 1 nas equações acima:

• Componente x: $4(-1) - 3 = -4 - 3 = -7$
• Componente y: -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1

Logo, o vetor gradiente neste ponto é \vec{v} = (-7, -1).

3. Determinar o Vetor Unitário

O problema pede a direção, ou seja, o vetor unitário. Primeiro, calculamos o módulo do vetor \vec{v}:

Por fim, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo para obter o vetor unitário \vec{u}:

Análise das Alternativas

A alternativa A apresenta exatamente o vetor unitário calculado.