A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. A direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função. Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função f(x,y) = x² + y² no ponto P(1,2).

Alternativa A

Para determinar a direção de maior crescimento de uma função escalar em um determinado ponto, devemos utilizar o vetor gradiente naquele ponto, normalizado (convertido em um vetor unitário).

Passo a Passo da Resolução

1. Calcular o vetor gradiente (\nabla f):
   O gradiente da função f(x,y) = x^2 + y^2 é formado pelas derivadas parciais em relação a x e y:
   \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (2x, 2y)
2. Avaliar o gradiente no ponto $P(1,2)$:
   Substituímos x=1 e y=2 na expressão do gradiente:
   \nabla f(1,2) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2, 4)
3. Calcular o módulo do gradiente (|\nabla f|):
   Para transformar o vetor em um vetor unitário (direção), precisamos dividir pelo seu tamanho (módulo):
   |\nabla f| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
4. Determinar o vetor unitário (u):
   Dividimos cada componente do vetor gradiente pelo seu módulo:
   u = \frac{\nabla f}{|\nabla f|} = \left( \frac{2}{2\sqrt{5}}, \frac{4}{2\sqrt{5}} \right)

Simplificando as frações:
u = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)

Racionalizando os denominadores (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5}):
u = \left( \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5} \right)

Análise das Alternativas

Comparando nosso resultado com as opções fornecidas na imagem:

Portanto, a direção de maior crescimento é dada pela alternativa A.