A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada pela função T(x, y) = x² + y². Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto (3,4) na direção do vetor u = (\frac{1}{5}, \frac{2}{5}).

Question

A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada pela função T(x, y) = x² + y². Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto (3,4) na direção do vetor u = (\frac{1}{5}, \frac{2}{5}). A) A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9.93 unidades. B) A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9.82 unidades. C) A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8.39 unidades. D) A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9.38 unidades. E) A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8.93 unidades.

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Alternativa A A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades. Para resolver esta questão de cálculo multivariável, precisamos calcular a derivada direcional da função temperatura no ponto especificado. Desenvolvimento A derivada direcional mede a rapidez com que uma função muda em uma direção específica. A fórmula geral é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor diretor unitário. $$ D u T = 
abla T \cdot u $$ Passo 1: Calcular o Gradiente Primeiro, determinamos o gradiente da função $T(x,y) = x^2 + y^2$. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais. Derivada em relação a $x$: $\frac{\partial T}{\partial x} = 2x$ Derivada em relação a $y$: $\frac{\partial T}{\partial y} = 2y$ Logo, o vetor gradiente é: $$ 
abla T = \langle 2x, 2y angle $$ Passo 2: Avaliar no ponto (3,4) Substituímos as coordenadas do ponto $P(3,4)$ no gradiente: $$ 
abla T(3,4) = \langle 2(3), 2(4) angle = \langle 6, 8 angle $$ Passo 3: Verificar o vetor direção O vetor dado é $u = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Precisamos confirmar se ele já é unitário (comprimento 1) para aplicar a fórmula diretamente. Módulo de $u$: $\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$ Como o módulo é 1, o vetor já está normalizado. Passo 4: Calcular o Produto Escalar Aplicamos a fórmula da derivada direcional fazendo o produto escalar entre o gradiente avaliado e o vetor direção: $$ D u T = \langle 6, 8 angle \cdot \left\langle \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} ightangle $$ $$ D u T = 6 \cdot \frac{1}{2} + 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ D u T = 3 + 4\sqrt{3} $$ Passo 5: Conversão Numérica Usando a aproximação $\sqrt{3} \approx 1,732$: $$ D u T \approx 3 + 4(1,732) $$ $$ D u T \approx 3 + 6,928 $$ $$ D u T \approx 9,928 $$ Arredondando para duas casas decimais, temos 9,93 . Como o valor é positivo, a temperatura está aumentando . Análise Conceito Chave : A derivada direcional combina a inclinação máxima (gradiente) com a direção desejada. Cálculo : O erro comum seria esquecer de avaliar o gradiente no ponto específico ou não verificar a unidade do vetor $u$. Resultado : O valor $3 + 4\sqrt{3}$ é exatamente o que buscávamos, convergindo para a opção A . Alternativa A.

Explicação passo a passo

Desenvolvimento

Passo 1: Calcular o Gradiente

Passo 2: Avaliar no ponto (3,4)

Passo 3: Verificar o vetor direção

Passo 4: Calcular o Produto Escalar

Passo 5: Conversão Numérica

Análise

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