A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente. Sendo assim, isto representa a direção de maior decrescimento e o sentido de maior crescimento. Sabendo que a função $T(x, y) = 3x^2 + y^2$ representa uma distribuição de temperatura no plano $T$ medida em graus Celsius, e $x$ e $y$ medidos em cm. Dado o ponto $P( rac{1}{3}, rac{1}{2})$, assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima.

Alternativa A

Este problema envolve Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, especificamente o conceito de Vetor Gradiente.

O vetor gradiente de uma função escalar f(x, y), denotado por \nabla f, aponta na direção de máximo crescimento da função. O módulo desse vetor indica a taxa máxima de crescimento. Para encontrar a direção de maior decrescimento, devemos considerar o vetor oposto ao gradiente (-\nabla f).

Desenvolvimento do Problema

1. Identificar a função e o ponto:

• Função de temperatura: T(x, y) = 3x^2 + y^2
• Ponto dado: P\left(1, \frac{1}{2}\right)

1. Calcular o Vetor Gradiente (\nabla T):
   O gradiente é formado pelas derivadas parciais em relação a x e y:
   \nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right)

• Derivada em relação a x: \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 + y^2) = 6x
• Derivada em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + y^2) = 2y
• Logo, \nabla T(x, y) = (6x, 2y)

1. Avaliar o gradiente no ponto P:
   Substituindo x = 1 e y = \frac{1}{2}:
   \nabla T\left(1, \frac{1}{2}\right) = \left( 6(1), 2\left(\frac{1}{2}\right) \right) = (6, 1)
2. Determinar a direção de maior decrescimento:
   Como o gradiente (6, 1) indica o maior crescimento, a direção de maior decrescimento é o vetor oposto:
   u_{dec} = -\nabla T = -(6, 1) = (-6, -1)
   Isso elimina as alternativas B, D e E imediatamente.
3. Calcular a taxa de variação mínima:
   A taxa de variação na direção de maior decrescimento é igual ao negativo do módulo do gradiente (ou simplesmente o módulo, se considerarmos a intensidade da queda):
   |\nabla T| = \sqrt{(6)^2 + (1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}
   Calculando a aproximação numérica:
   \sqrt{37} \approx 6,082
   Arredondando para uma casa decimal, obtemos 6,1.

Análise das Alternativas

Embora vetores de direção sejam frequentemente normalizados (convertidos em vetores unitários), a Alternativa A fornece o vetor correto (-6, -1) e a taxa correta \approx 6,1. A Alternativa C apresenta erros tanto no sinal do componente y quanto no valor da taxa.

Portanto, a resposta correta é a Alternativa A.