A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função T(x,y) = 3x² + y² represente uma distribuição de temperatura no plano T medida em graus Celsius, x e y medidos em (cm). Dado o ponto P(1, 1/2), assinale a alternativa que corresponde à direção de decrescimento da temperatura e sua taxa mínima de variação.

Alternativa A

A questão aborda conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre o gradiente e direções de variação de uma função escalar. Para resolver, precisamos encontrar o vetor gradiente no ponto dado, identificar a direção oposta para o decrescimento e calcular a magnitude desse vetor para obter a taxa de variação.

Análise Passo a Passo

1. Cálculo do Vetor Gradiente
O gradiente da função T(x, y) = 3x^2 + y^2 é dado pelo vetor das derivadas parciais:
\nabla T(x, y) = \left\langle \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right\rangle

Calculando as derivadas:

• Derivada em relação a x: \frac{\partial T}{\partial x} = 6x
• Derivada em relação a y: \frac{\partial T}{\partial y} = 2y

Logo, o vetor gradiente é:
\nabla T(x, y) = \langle 6x, 2y \rangle

2. Avaliação no Ponto $P(1, \frac{1}{2})$
Substituímos as coordenadas do ponto P na expressão do gradiente:
\nabla T\left(1, \frac{1}{2}\right) = \left\langle 6(1), 2\left(\frac{1}{2}\right) \right\rangle = \langle 6, 1 \rangle

Este vetor \langle 6, 1 \rangle aponta na direção de maior crescimento da temperatura.

3. Direção de Maior Decrescimento
O enunciado afirma que a direção de maior decrescimento é o vetor oposto ao vetor gradiente. Portanto, devemos negar os componentes do vetor encontrado acima:
\vec{u} = -\nabla T\left(1, \frac{1}{2}\right) = \langle -6, -1 \rangle

Isso elimina imediatamente as alternativas B, D e E, pois possuem sinais incorretos ou componentes diferentes.

4. Taxa Mínima de Variação
A taxa de variação máxima (crescimento) é igual à norma (módulo) do vetor gradiente. A taxa mínima (decréscimo) tem o mesmo módulo, mas sentido oposto. O valor numérico solicitado nas opções refere-se à magnitude dessa taxa.

Calculamos a norma do vetor \langle 6, 1 \rangle:
|\nabla T| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}

Sabendo que \sqrt{36} = 6 e \sqrt{49} = 7, o valor está próximo de 6. Calculando mais precisamente:
\sqrt{37} \approx 6,0827...

Arredondando para uma casa decimal, obtemos 6,1.

Comparação com as Alternativas

Vamos verificar a alternativa A contra nossos resultados:

• Direção: u = (-6, -1) (Corresponde exatamente ao vetor oposto calculado).
• Taxa: $6,1\ ^\circ C/cm$ (Corresponde à aproximação de \sqrt{37}).

As outras alternativas falham nos seguintes pontos:

• B: Usa o vetor de crescimento (6, 1), não de decrescimento.
• C: Apresenta um vetor normalizado (dividido por \sqrt{37}), mas o componente y está positivo, o que está incorreto para o vetor oposto. Além disso, a taxa é correta, mas a direção vetorial está errada.
• D e E: Possuem valores de direção e taxa incompatíveis com os cálculos realizados.

Portanto, a única alternativa que satisfaz tanto a direção quanto a taxa de variação é a A.