A expectativa mensal de vendas (v) de certo estabelecimento comercial, em milhares de reais, varia em razão dos meses de um ano, conforme a função v(t) = 200 + 50 * sec(πt), sendo t igual a 1, equivalente ao mês de janeiro, t igual a 2, equivalente ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente. Sabe-se que sec(x) = 1/cos(x). Com base nas informações anteriores, as vendas no mês de março, em reais, estão no intervalo:

Alternativa E

Para resolver esta questão, precisamos determinar o valor esperado de vendas para o mês de março utilizando a função dada e converter a unidade corretamente.

Passo a Passo da Resolução

1. Identificar o valor de t para março:
   O enunciado estabelece que t=1 corresponde a janeiro, t=2 a fevereiro. Seguindo essa sequência lógica:

• Janeiro: t = 1
• Fevereiro: t = 2
• Março: $t = 3$

1. Calcular o valor da função trigonométrica:
   Substituímos t = 3 na função v(t) = 200 + 50 \cdot \sec(\pi t).

Sabemos que a secante é o inverso do cosseno: \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}.
O cosseno de múltiplos ímpares de \pi é sempre -1:
\cos(3\pi) = -1

Portanto:
\sec(3\pi) = \frac{1}{-1} = -1

1. Calcular o valor numérico de v:
   Agora substituímos o valor da secante na equação original:
   v(3) = 200 + 50 \cdot (-1)
   v(3) = 200 - 50
   v(3) = 150
2. Conversão de Unidades:
   O enunciado afirma que v está em milhares de reais.
   Assim, um valor de $150$ representa:
   150 \times 1.000 = 150.000 \text{ reais}
3. Verificar o Intervalo:
   Precisamos encontrar a opção onde v = 150.000 se encaixa. Analisando as alternativas:

• (C) $100\,000 \leq v < 150\,000$ (Exclui o valor 150.000, pois é menor que)
• (E) $150\,000 \leq v < 200\,000$ (Inclui o valor 150.000, pois é maior ou igual)

Como o valor calculado é exatamente 150.000, ele pertence ao intervalo definido pela alternativa E.