A figura apresenta uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano. Essa pode ser expressa em coordenadas polares como r = a cos(θ), com 0 ≤ θ ≤ π/2. Supondo uma lâmina com o formato da região acima, a medida da densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é proporcional à medida de sua distância até a origem, isto é, σ(r, θ) = kr, onde k é uma constante. Assinale a alternativa que corresponde à massa da lâmina descrita considerando k = 3 e sabendo que M = ∫∫ σ(r, θ) r dr dθ.

Alternativa A - M = 6 \text{ kg}.

Para encontrar a massa da lâmina, utilizamos o conceito de integral dupla em coordenadas polares. A massa total é dada pela soma das massas infinitesimais de cada elemento de área da região.

Desenvolvimento do Problema

1. Montagem da Integral
A fórmula fornecida para a massa é:
M = \iint_R \sigma(r, \theta) r \, dr \, d\theta

Onde:

• \sigma(r, \theta) = kr é a densidade. Com k=1, temos \sigma = r.
• O termo r na integral vem do elemento de área em coordenadas polares (dA = r \, dr \, d\theta).
• Portanto, o integrando completo é (kr) \cdot r = k r^2. Como k=1, usamos apenas r^2.

Os limites de integração são definidos pela equação da curva polar e pelo intervalo angular:

• Para r: vai de $0$ até a fronteira da curva r = a \cos(\theta). Com a=3, o limite superior é $3 \cos(\theta)$.
• Para \theta: o enunciado define $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$.

A integral fica assim:
M = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3 \cos(\theta)} r^2 \, dr \, d\theta

2. Cálculo da Integração Interna (em relação a r)
Primeiro integramos em relação a r, tratando \theta como constante:
\int_{0}^{3 \cos(\theta)} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{3 \cos(\theta)}
Substituindo os limites:
= \frac{(3 \cos(\theta))^3}{3} - 0 = \frac{27 \cos^3(\theta)}{3} = 9 \cos^3(\theta)

3. Cálculo da Integração Externa (em relação a \theta)
Agora integramos o resultado anterior em relação a \theta:
M = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 9 \cos^3(\theta) \, d\theta = 9 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(\theta) \, d\theta

Para resolver \int \cos^3(\theta) \, d\theta, separamos um fator de cosseno e usamos a identidade \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta):
\int \cos^3(\theta) \, d\theta = \int (1 - \sin^2(\theta)) \cos(\theta) \, d\theta

Fazemos a substituição simples:

• Seja u = \sin(\theta), logo du = \cos(\theta) \, d\theta.
• Novos limites:
• Se \theta = 0 \Rightarrow u = \sin(0) = 0
• Se \theta = \frac{\pi}{2} \Rightarrow u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1

A integral torna-se:
M = 9 \int_{0}^{1} (1 - u^2) \, du
M = 9 \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1}
M = 9 \left( (1 - \frac{1}{3}) - 0 \right) = 9 \left( \frac{2}{3} \right)
M = 6

Conclusão

O cálculo resultou em uma massa total de 6 kg, o que confirma a Alternativa A.