A função custo C(x) é o custo de x unidades do produto e sua derivada é c(x) = C(x)/x. Considere C(x) = 16000 + 200x + 4x^(3/2). Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a produção que minimizará o custo médio.

Alternativa A - 400 unidades.

Para encontrar a produção que minimiza o custo médio, precisamos analisar a função custo médio derivada da função custo total fornecida.

Passo a passo da resolução:

1. Determinar a função de Custo Médio:
   O enunciado define o custo médio como a razão entre o custo total C(x) e a quantidade x.
   c(x) = \frac{C(x)}{x}
   Substituindo a função dada C(x) = 16000 + 200x + 4x^{3/2}:
   c(x) = \frac{16000 + 200x + 4x^{3/2}}{x}
   Simplificando cada termo dividindo por x:
   c(x) = \frac{16000}{x} + 200 + 4x^{1/2}
   Reescrevendo com expoentes negativos para facilitar a derivação:
   c(x) = 16000x^{-1} + 200 + 4x^{1/2}
2. Calcular a derivada da função Custo Médio (c'(x)):
   Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada primeira e igualamos a zero.

• Derivada de $16000x^{-1}$ é -16000x^{-2}
• Derivada de $200$ (constante) é $0$
• Derivada de $4x^{1/2}$ é $4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x^{-1/2}$

Logo:
c'(x) = -\frac{16000}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}}

1. Encontrar o ponto crítico (igualar a zero):
   -\frac{16000}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}} = 0
   \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{16000}{x^2}
2. Resolver a equação para x:
   Multiplicando cruzado ($2 \cdot x^2 = 16000 \cdot \sqrt{x}$):
   x^2 = 8000 \cdot \sqrt{x}
   Elevando ambos os lados ao quadrado para remover a raiz:
   (x^2)^2 = (8000 \cdot \sqrt{x})^2
   x^4 = 64.000.000 \cdot x
   Dividindo por x (sabendo que x > 0):
   x^3 = 64.000.000
   Calculando a raiz cúbica:
   x = \sqrt[3]{64.000.000}
   x = 400

Portanto, a produção que minimiza o custo médio é de 400 unidades.