A função real definida por f(x) = 𝜀/x admite um mínimo local. Determine o ponto onde isso ocorre.

Question

A função real definida por f(x) = 𝜀/x admite um mínimo local. Determine o ponto onde isso ocorre. A) (1; −1) B) (1; 1/e) C) ( 2; e) D) (1; e) E) ( 1; e)

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Alternativa D Para encontrar o ponto onde ocorre o mínimo local da função, devemos analisar sua derivada e identificar os pontos críticos. O processo envolve calcular a taxa de variação da função e verificar onde ela muda de decrescente para crescente. Análise Matemática O primeiro passo é calcular a derivada da função $f(x) = \frac{e^x}{x}$. Utilizamos a regra do quociente $\left(\frac{u}{v}ight)' = \frac{u'v uv'}{v^2}$: $$ f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot x e^x \cdot (x)'}{x^2} $$ Como a derivada de $e^x$ é $e^x$ e a derivada de $x$ é $1$, temos: $$ f'(x) = \frac{e^x \cdot x e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x 1)}{x^2} $$ Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero ($f'(x) = 0$). Como $e^x$ é sempre positivo e $x^2$ é positivo para $x 
eq 0$, apenas o termo entre parênteses importa: $$ x 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $$ Em seguida, verificamos se esse ponto corresponde a um mínimo. Analisando o sinal da derivada ao redor de $x = 1$: Para $0 < x < 1$, o termo $(x 1)$ é negativo, logo $f'(x) < 0$ (função decrescente). Para $x 1$, o termo $(x 1)$ é positivo, logo $f'(x) 0$ (função crescente). Como a função passa de decrescente para crescente em $x = 1$, confirmamos que há um mínimo local nesse ponto. Por fim, calculamos a coordenada $y$ substituindo $x = 1$ na função original: $$ f(1) = \frac{e^1}{1} = e $$ Portanto, as coordenadas do ponto de mínimo são $(1, e)$. | Parâmetro | Valor Encontrado | | : | : | | Abscissa ($x$) | $1$ | | Ordenada ($y$) | $e$ | | Tipo de Extremo | Mínimo Local | Conclusão O ponto onde a função admite um mínimo local é $(1; e)$, correspondente à alternativa D .

Explicação passo a passo

Análise Matemática

Conclusão

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Parâmetro	Valor Encontrado
Abscissa ( $x$ )	$1$
Ordenada ( $y$ )	$e$
Tipo de Extremo	Mínimo Local