Alternativa: II e III
Este problema envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada utilizando o Teorema da Divergência de Gauss. O objetivo é validar quatro afirmações sobre o campo dado e seus cálculos associados.
Para resolver, precisamos primeiro calcular o divergente do vetor \mathbf{F} e depois aplicar o teorema para encontrar o valor do fluxo nas regiões geométricas especificadas.
Desenvolvimento dos Cálculos
O campo vetorial fornecido é:
\mathbf{F}(x, y, z) = \left(\frac{x^3}{3} + y^2, \frac{y^3}{3} + x, xy\right)
1. Cálculo do Divergente
O divergente de um campo vetorial \mathbf{F} = (P, Q, R) é definido como:
\text{div } \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}
Aplicando às componentes de \mathbf{F}:
- \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^3}{3} + y^2\right) = x^2
- \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y^3}{3} + x\right) = y^2
- \frac{\partial}{\partial z}(xy) = 0
Portanto:
\text{div } \mathbf{F} = x^2 + y^2
2. Aplicação do Teorema da Divergência
O Teorema de Gauss relaciona o fluxo superficial com a integral tripla do divergente no volume V:
\phi = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS = \iiint_V (\text{div } \mathbf{F}) dV
Substituindo o divergente calculado:
\phi = \iiint_V (x^2 + y^2) dV
3. Cálculo do Fluxo em Coordenadas Cilíndricas
Para os volumes cilíndricos, usamos coordenadas polares/cilíndricas onde x^2 + y^2 = r^2 e dV = r \, dr \, d\theta \, dz.
Caso III (Raio 2, Altura 10):
- Limites: r \in [0, 2], \theta \in [0, 2\pi], z \in [0, 10]
\phi = \int_0^{10} \int_0^{2\pi} \int_0^2 (r^2) \cdot r \, dr \, d\theta \, dz
\phi = \left( \int_0^{10} dz \right) \cdot \left( \int_0^{2\pi} d\theta \right) \cdot \left( \int_0^2 r^3 dr \right)
\phi = [10] \cdot [2\pi] \cdot \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2
\phi = 10 \cdot 2\pi \cdot \frac{16}{4} = 20\pi \cdot 4 = 80\pi
Caso IV (Raio 3, Altura 2):
- Limites: r \in [0, 3], \theta \in [0, 2\pi], z \in [0, 2]
\phi = \int_0^2 \int_0^{2\pi} \int_0^3 (r^2) \cdot r \, dr \, d\theta \, dz
\phi = [2] \cdot [2\pi] \cdot \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^3
\phi = 4\pi \cdot \frac{81}{4} = 81\pi
Análise das Afirmações
Com base nos cálculos acima, avaliamos cada item:
- I - Falso: O divergente é uma função escalar (x^2 + y^2), não um vetor. A afirmação apresenta um vetor (x^2, y^2, 0), o que é conceitualmente incorreto.
- II - Verdadeiro: A aplicação direta do Teorema de Gauss resulta na integral tripla do divergente encontrado: \iiint_V (x^2 + y^2) dV.
- III - Verdadeiro: O cálculo para o cilindro de raio 2 e altura 10 resultou exatamente em $80\pi$.
- IV - Falso: O cálculo para o cilindro de raio 3 e altura 2 resultou em $81\pi$, não $40\pi$.
Conclusão
As afirmações II e III são matematicamente corretas. Como as opções de múltipla escolha (A, B, C, D) não foram totalmente exibidas na imagem, a resposta correta corresponde à combinação dessas duas afirmações.