A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples, o qual pode ser descrito pela equação mx'' + kx = 0, onde x'' é uma função de posição da massa, m é a massa da mola e k é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após 2 segundos?

Alternativa A

Para encontrar a função que descreve a posição da massa ao longo do tempo, devemos resolver o modelo matemático do Movimento Harmônico Simples (MHS) apresentando a questão. O processo envolve calcular a constante elástica, a frequência angular e a amplitude inicial.

1. Determinação da Constante Elástica (k)
Primeiro, utilizamos a Lei de Hooke mencionada na dica (F = kx) para encontrar a rigidez da mola.

• A força necessária para esticar a mola é de $25\text{ N}$.
• O alongamento ocorrido foi da posição natural ($0.75\text{ m}) até $1\text{ m}.
• A deformação (x) é a diferença entre esses comprimentos:
  x = 1\text{ m} - 0.75\text{ m} = 0.25\text{ m}

Aplicando a fórmula:
25 = k \cdot 0.25 \Rightarrow k = \frac{25}{0.25} = 100\text{ N/m}

2. Determinação da Frequência Angular (\omega)
A equação diferencial fornecida é mx'' + kx = 0. Em MHS, isso se relaciona com a forma padrão x'' + \omega^2 x = 0, onde \omega^2 = \frac{k}{m}.

• Massa (m): $5\text{ kg}$
• Constante (k): $100\text{ N/m}$

Calculando \omega:
\omega^2 = \frac{100}{5} = 20 \Rightarrow \omega = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ rad/s}

3. Determinação da Amplitude (A)
A amplitude é o deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio.

• O sistema é solto com velocidade nula quando a mola está esticada a $1.1\text{ m}$.
• A posição de equilíbrio corresponde ao comprimento natural da mola ($0.75\text{ m}$).
• Portanto, a amplitude inicial é:
  A = 1.1\text{ m} - 0.75\text{ m} = 0.35\text{ m}

4. Montagem da Função de Posição
Como a massa é solta com velocidade nula (partindo do repouso na extremidade), a função que descreve o movimento é baseada no cosseno.
A forma geral é:
x(t) = A \cos(\omega t)

Substituindo os valores calculados:
x(t) = 0.35 \cos(2\sqrt{5} t)

Análise

• **Constante k$**: Encontrada dividindo a força pela deformação ($25 / 0.25). Valor: $100$.
• **Frequência \omega$**: Raiz quadrada da razão entre constante e massa ($\sqrt{100/5}). Valor: $2\sqrt{5}$.
• **Amplitude A$**: Distância entre o ponto de soltura ($1.1) e o comprimento natural ($0.75$). Valor: $0.35$.
• Tipo de Função: Velocidade inicial zero exige função cosseno (\cos(0) = 1).

Comparando o resultado x(t) = 0.35 \cos(2\sqrt{5} t) com as opções, verificamos que ele coincide exatamente com a alternativa A.