Resposta
Função de Transferência em Malha Fechada: T(s) = \frac{20}{s^2 + 25s + 80}
Polinômio Característico: \Delta(s) = s^2 + 25s + 80
Estabilidade: O sistema é ESTÁVEL.
Resolução Detalhada
Para resolver este problema de controle, precisamos analisar o diagrama de blocos passo a passo para encontrar a relação entre a entrada U(s) e a saída Y(s). O sistema possui duas malhas de realimentação (uma interna e uma externa).
1. Modelagem do Sistema
Vamos definir os sinais intermediários para simplificar a análise algébrica:
- Sinal de Erro Externo (E_1): Resultado da primeira soma (malha externa). Assumindo realimentação negativa padrão:
E_1(s) = U(s) - Y(s) - Sinal de Erro Interno (E_2): Resultado da segunda soma (malha interna). A realimentação vem através do bloco (s+3):
E_2(s) = E_1(s) - (s + 3)Y(s)
Substituindo E_1(s):
E_2(s) = U(s) - Y(s) - (s + 3)Y(s)
E_2(s) = U(s) - Y(s)(1 + s + 3) = U(s) - Y(s)(s + 4) - Relação com a Planta: O sinal E_2(s) passa pelos blocos em série \frac{1}{s+5} e \frac{20}{s} para gerar Y(s):
Y(s) = E_2(s) \cdot \frac{1}{s+5} \cdot \frac{20}{s}
Y(s) = E_2(s) \cdot \frac{20}{s(s+5)}
2. Determinação da Função de Transferência
Agora, substituímos a expressão de E_2(s) na equação da planta:
Y(s) = [U(s) - Y(s)(s + 4)] \cdot \frac{20}{s(s+5)}
Multiplicamos ambos os lados por s(s+5) para eliminar o denominador:
s(s+5)Y(s) = 20U(s) - 20(s+4)Y(s)
Expandimos os termos:
(s^2 + 5s)Y(s) = 20U(s) - (20s + 80)Y(s)
Agrupamos os termos com Y(s) no lado esquerdo:
(s^2 + 5s + 20s + 80)Y(s) = 20U(s)
(s^2 + 25s + 80)Y(s) = 20U(s)
Isolamos a razão Y(s)/U(s):
\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{20}{s^2 + 25s + 80}
Assim, temos a função de transferência em malha fechada.
3. Polinômio Característico
O polinômio característico é o denominador da função de transferência quando esta está na forma canônica:
\Delta(s) = s^2 + 25s + 80
4. Critério de Routh-Hurwitz
Para verificar a estabilidade, construímos a tabela de Routh para o polinômio s^2 + 25s + 80.
| Potência de s | Coluna 1 | Coluna 2 |
|---|
| s^2 | $1$ | $80$ |
| s^1 | $25$ | $0$ |
| s^0 | $80$ | |
Cálculo do elemento s^0:
b_1 = \frac{(25 \times 80) - (1 \times 0)}{25} = 80
Análise da Primeira Coluna:
Os coeficientes são $1$, $25$ e $80$.
- Todos são positivos (+).
- Não há mudança de sinal na primeira coluna.
Conclusão
Como não existem mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh, todas as raízes do polinômio característico possuem parte real negativa (estão no semiplano esquerdo do plano complexo). Portanto, o sistema é estável.