A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função f(x,y) = 2x² - y² - 3x + y no ponto P(-1,1).

Alternativa A

Para encontrar a direção de máximo crescimento de uma função escalar em um ponto específico, devemos utilizar o vetor gradiente naquele ponto. O enunciado já esclarece que a derivada direcional é máxima quando o vetor unitário de deslocamento tem a mesma direção e sentido do gradiente.

Análise do Problema

O processo envolve três etapas principais: calcular o gradiente geral, avaliar no ponto dado e normalizar o vetor resultante.

1. Cálculo do Gradiente (\nabla f)

O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Para a função f(x, y) = 2x^2 - y^2 - 3x + y:

• Derivada em relação a x:
  \frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 3
• Derivada em relação a y:
  \frac{\partial f}{\partial y} = -2y + 1

Assim, o vetor gradiente genérico é:
\nabla f(x, y) = \langle 4x - 3, -2y + 1 \rangle

2. Avaliação no Ponto P(-1, 1)

Substituímos os valores x = -1 e y = 1 no vetor gradiente calculado acima:

• Componente x: $4(-1) - 3 = -4 - 3 = -7$
• Componente y: -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1

Portanto, o vetor gradiente no ponto P é:
\nabla f(-1, 1) = \langle -7, -1 \rangle

3. Normalização do Vetor (Vetor Unitário)

Para obter a direção, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário (u), dividindo-o pelo seu próprio módulo (comprimento).

Calculamos o módulo de \langle -7, -1 \rangle:
||\nabla f|| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}

Dividimos cada componente pelo módulo:
u = \frac{\langle -7, -1 \rangle}{\sqrt{50}} = \left( \frac{-7}{\sqrt{50}}, \frac{-1}{\sqrt{50}} \right)

Isso corresponde exatamente à Alternativa A.