A partir do Método da Bissecção, determine uma aproximação para a raiz da função f(x) = x² - 17 no intervalo [4, 5].

Alternativa E - 4,09375

Para resolver esta questão, utilizaremos o Método da Bissecção, um algoritmo numérico iterativo usado para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo fechado.

Análise do Problema

Dada a função f(x) = x^2 - 17 no intervalo inicial [4, 5], precisamos realizar 5 iterações. O objetivo é reduzir o tamanho do intervalo até obter a aproximação solicitada.

Regra de Seleção do Subintervalo:

• Calculamos o ponto médio c = \frac{a + b}{2}.
• Avaliamos o sinal de f(c).
• O novo intervalo será aquele onde a função muda de sinal (teorema do valor intermediário), ou seja, entre a e c, ou entre c e b.

Passo a Passo das Iterações

Iteração 1:

• Intervalo atual: [4, 5]
• Pontos: a = 4, b = 5
• Sinais: f(4) = 16 - 17 = -1 (negativo); f(5) = 25 - 17 = 8 (positivo).
• Ponto Médio (c_1): \frac{4 + 5}{2} = 4.5
• Avaliação: f(4.5) = 4.5^2 - 17 = 20.25 - 17 = 3.25 (positivo).
• Como f(4) é negativo e f(4.5) é positivo, a raiz está em [4, 4.5].

Iteração 2:

• Intervalo atual: [4, 4.5]
• Pontos: a = 4, b = 4.5
• Ponto Médio (c_2): \frac{4 + 4.5}{2} = 4.25
• Avaliação: f(4.25) = 4.25^2 - 17 = 18.0625 - 17 = 1.0625 (positivo).
• Como f(4) é negativo e f(4.25) é positivo, a raiz está em [4, 4.25].

Iteração 3:

• Intervalo atual: [4, 4.25]
• Pontos: a = 4, b = 4.25
• Ponto Médio (c_3): \frac{4 + 4.25}{2} = 4.125
• Avaliação: f(4.125) = 4.125^2 - 17 \approx 17.0156 - 17 = 0.0156 (positivo).
• Como f(4) é negativo e f(4.125) é positivo, a raiz está em [4, 4.125].

Iteração 4:

• Intervalo atual: [4, 4.125]
• Pontos: a = 4, b = 4.125
• Ponto Médio (c_4): \frac{4 + 4.125}{2} = 4.0625
• Avaliação: f(4.0625) = 4.0625^2 - 17 \approx 16.5039 - 17 = -0.4961 (negativo).
• Como f(4.0625) é negativo e f(4.125) é positivo, a raiz está em [4.0625, 4.125].

Iteração 5:

• Intervalo atual: [4.0625, 4.125]
• Pontos: a = 4.0625, b = 4.125
• Ponto Médio (c_5): \frac{4.0625 + 4.125}{2} = \frac{8.1875}{2} = 4.09375

O valor obtido na quinta iteração é exatamente 4,09375.

Conclusão

Após realizar as 5 iterações conforme solicitado pelo enunciado, a aproximação encontrada é 4,09375.

Portanto, a alternativa correta é a E.