A regra de L'Hospital é indicada no cálculo de limites cuja resolução inicial origina uma indeterminação. Com base nesta regra, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. Para encontrar o limite definido por lim x→0 sen x / 2x utiliza-se duas vezes consecutivas a regra de L'Hospital PORQUE II. O uso da regra de L'Hospital possibilita eliminar uma indeterminação do tipo 0/0.

Introdução

A regra de L'Hospital é uma ferramenta fundamental no cálculo de limites que apresentam indeterminações.

Desenvolvimento

Asserção I: O limite em questão é lim x→0 (sen x)/(2x).

• Ao substituir x=0, obtemos (sen 0)/(2*0) = 0/0, uma indeterminação.
• Aplicando L'Hospital uma vez: derivada de sen x é cos x, derivada de 2x é 2.
• Novo limite: lim x→0 (cos x)/2 = cos 0 / 2 = 1/2.
• Não é necessário aplicar L'Hospital duas vezes.
• Portanto, a asserção I é falsa.

Asserção II: A regra de L'Hospital é usada para resolver indeterminações do tipo 0/0 ou ∞/∞.

• A asserção II afirma que ela elimina indeterminação do tipo 0/0, o que é correto.

Análise

• Asserção I: Falsa (basta uma aplicação de L'Hospital).
• Asserção II: Verdadeira (a regra resolve indeterminações 0/0).
• Relação: Como I é falsa e II é verdadeira, a alternativa correta é E.

Conclusão

A alternativa correta é E, pois a asserção I é falsa e a II é verdadeira.