A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for, não é solução. Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir: A função y = cos(x) + sen(x) é solução da equação diferencial y'' + 4y = cos(2x). II. A função y = e^(-x/2) é solução da equação diferencial 2y' + y = 0. III. A função y = x ln(x), x > 0 é solução da equação diferencial x y' - y = 2. IV. A função y = x + 1 é solução da equação diferencial x'' + y' = 0.

Alternativa A

Para determinar a alternativa correta, devemos verificar, uma a uma, se as funções dadas satisfazem as respectivas equações diferenciais apresentadas nas afirmativas. O método consiste em calcular as derivadas da função, substituí-las na equação e verificar se a igualdade se mantém verdadeira.

Análise das Afirmações

Vamos testar cada item individualmente para identificar quais estão corretas:

Item I:

• Função: y = \cos(x) + \sin(x)
• Derivadas: y' = -\sin(x) + \cos(x) e y'' = -\cos(x) - \sin(x) = -y
• Substituição na equação y'' + 4y:
  (-y) + 4y = 3y = 3(\cos(x) + \sin(x))
• Verificação: O resultado não é igual a \cos(2x).
• Conclusão: Afirmação Falsa.

Item II:

• Função: y = e^{-x/2}
• Derivada: y' = -\frac{1}{2}e^{-x/2} = -\frac{1}{2}y
• Substituição na equação $2y' + y$:
  2\left(-\frac{1}{2}e^{-x/2}\right) + e^{-x/2} = -e^{-x/2} + e^{-x/2} = 0
• Verificação: A igualdade $0 = 0$ é verdadeira.
• Conclusão: Afirmação Verdadeira.

Item III:

• Função: y = x^4 + 1
• Derivada: y' = 4x^3
• Substituição na equação xy' - 4y:
  x(4x^3) - 4(x^4 + 1) = 4x^4 - 4x^4 - 4 = -4
• Verificação: O resultado é -4, mas a equação pede $0$.
• Conclusão: Afirmação Falsa.

Item IV:

• Função: y = x \ln(x)
• Derivada Primeira: y' = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1
• Derivada Segunda: y'' = \frac{1}{x}
• Substituição na equação xy'' + y' - \frac{y}{x}:
  x\left(\frac{1}{x}\right) + (\ln(x) + 1) - \frac{x \ln(x)}{x}
  = 1 + \ln(x) + 1 - \ln(x) = 2
• Verificação: O resultado é exatamente $2$.
• Conclusão: Afirmação Verdadeira.

Conclusão

Com base na análise detalhada acima:

• As afirmativas II e IV são verdadeiras.
• As afirmativas I e III são falsas.

Portanto, a única opção que lista corretamente as afirmações válidas é a Alternativa A.