A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, e não for verdadeira, não é solução. Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir: A função y = cos(x) + sen(x) é solução da equação diferencial y'' + 4y = cos(2x). II. A função y = e^(-x/2) é solução da equação diferencial 2y' + y = 0. III. A função y = x * ln(x) > 0 é solução da equação diferencial x'' + y = 2. IV. A função y = x² é solução da equação diferencial y'' + 4y = 0.

Alternativa A - II e IV, apenas.

Para identificar a alternativa correta, devemos verificar cada afirmação substituindo a função proposta e suas derivadas na equação diferencial dada. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução; caso contrário, não é.

Análise das Afirmações

I. A função y = \cos(x) + \sin(x) é solução da equação diferencial y'' + 4y = \cos(2x).

Primeiro, calculamos as derivadas de y:

• y' = -\sin(x) + \cos(x)
• y'' = -\cos(x) - \sin(x)

Substituindo na equação (y'' + 4y):
(-\cos(x) - \sin(x)) + 4(\cos(x) + \sin(x)) = 3\cos(x) + 3\sin(x)
O resultado $3\cos(x) + 3\sin(x)$ é diferente de \cos(2x). Portanto, a afirmação é Falsa.

II. A função y = e^{-x/2} é solução da equação diferencial $2y' + y = 0$.

Calculamos a derivada de y:

• y' = \frac{d}{dx}(e^{-x/2}) = -\frac{1}{2}e^{-x/2}

Substituindo na equação ($2y' + y$):
2\left(-\frac{1}{2}e^{-x/2}\right) + e^{-x/2} = -e^{-x/2} + e^{-x/2} = 0
A igualdade se mantém ($0 = 0$). Portanto, a afirmação é Verdadeira.

III. A função y = x^4 + 1 é solução da equação diferencial xy' - 4y = 0.

Calculamos a derivada de y:

• y' = 4x^3

Substituindo na equação (xy' - 4y):
x(4x^3) - 4(x^4 + 1) = 4x^4 - 4x^4 - 4 = -4
O resultado é -4, que não é igual a $0$. Portanto, a afirmação é Falsa.

IV. A função y = x \ln(x), x > 0 é solução da equação diferencial xy'' + y' - \frac{y}{x} = 2.

Calculamos as derivadas de y (usando a regra do produto):

• y' = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1
• y'' = \frac{1}{x}

Substituindo na equação (xy'' + y' - \frac{y}{x}):
x\left(\frac{1}{x}\right) + (\ln(x) + 1) - \frac{x \ln(x)}{x} = 1 + \ln(x) + 1 - \ln(x) = 2
A igualdade se mantém ($2 = 2$). Portanto, a afirmação é Verdadeira.

Conclusão

As únicas afirmações corretas são a II e a IV.

Assim, a opção correta é a Alternativa A.