A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais ordinárias com condições iniciais. Sabendo que f é uma função seccionalmente contínua, definida sobre [0, +∞) e cuja derivada é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. E que f(0) = 1 e 𝓛{f(t)}(s) = arctan(s), calcule 𝓛[e²tf’(t)].

Alternativa B

Para resolver esta questão, utilizaremos duas propriedades fundamentais da Transformada de Laplace: a propriedade da derivada e a propriedade de deslocamento no domínio da frequência (multiplicação por exponencial).

Desenvolvimento da Solução

Primeiro, vamos identificar a Transformada de Laplace da derivada f'(t). A fórmula geral é:

Substituindo os dados fornecidos no enunciado (\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \arctan(s) e f(0) = 1), obtemos a transformada da derivada, que chamaremos de G(s):

Em seguida, aplicamos a propriedade de deslocamento. Para qualquer função g(t), temos que:

No problema, queremos calcular \mathcal{L}\{e^{2t} f'(t)\}(s). Aqui, g(t) = f'(t) e a = 2. Portanto, devemos substituir a variável s pela expressão (s-2) na nossa função G(s) encontrada anteriormente:

Análise das Opções

Vamos verificar qual alternativa corresponde ao resultado calculado:

• A) (s - 1) \cdot \arctan(s - 1) - 1 (Incorreto: usa s-1)
• B) (s - 2) \cdot \arctan(s - 2) - 1 (Correto)
• C) (s - 3) \cdot \arctan(s - 3) - 1 (Incorreto: usa s-3)
• D) (s - 4) \cdot \arctan(s - 4) - 1 (Incorreto: usa s-4)
• E) (s - 5) \cdot \arctan(s - 5) - 1 (Incorreto: usa s-5)

Portanto, a resposta correta é a letra B.