A velocidade instantânea de uma motocicleta foi medida em vários momentos e registrada numa tabela como segue abaixo: | t (segundos) | v (km/h) | |---|---| | 0 | 20 | | 120 | 22 | | 240 | 23 | | 360 | 25 | | 480 | 30 | | 600 | 31 | | 720 | 32 | | 840 | 40 | | 960 | 45 | | 1080 | 50 | | 1200 | 65 | Referência: Elaborado pelo autor. Uma vez que o motociclista não quilometragen da motocicleta e deseja calcular uma aproximação da distância percorrida, em metros, determine essa aproximação usando a regra dos trapézios composta sobre todos os pontos da tabela.

Alternativa C

O problema solicita o cálculo da distância percorrida utilizando a Regra dos Trapézios Composta, dado um conjunto de dados de velocidade em função do tempo.

Para resolver, precisamos entender que a distância é o valor absoluto da área sob a curva da velocidade versus tempo (D = \int v(t) \, dt). Como não temos a função exata, usamos integração numérica.

Análise do Problema

A aplicação da regra dos trapézios requer atenção aos passos e às unidades de medida para evitar erros comuns.

1. Identificar os dados:

• O intervalo de tempo (\Delta t) entre cada medição é constante: $120$ segundos.
• As velocidades (v) estão em km/h.
• O resultado deve estar em metros.

1. Fórmula da Regra dos Trapézios:
   D \approx \frac{\Delta t}{2} \left[ v_0 + 2(v_1 + v_2 + \dots + v_{n-1}) + v_n \right]
   Onde v_0 e v_n são as velocidades inicial e final, e os termos intermediários são multiplicados por 2.
2. Tratamento de Unidades:

• Temos tempo em segundos e velocidade em km/h.
• É mais seguro converter tudo para o Sistema Internacional (SI) ou ajustar o fator de conversão ao final.
• Conversão: $1 \text{ km/h} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{1}{3.6} \text{ m/s}$.

Cálculo Passo a Passo

Primeiro, somamos os valores das velocidades conforme a fórmula:

• Velocidades iniciais e finais: v_0 = 20 e v_{10} = 65. Soma = $85$.
• Velocidades intermediárias: $22, 23, 25, 30, 31, 32, 40, 45, 50$.
• Soma dos intermediários = $298$.
• Multiplicado por 2 = $596$.

Somando tudo no colchete da fórmula:
\text{Soma Total } V = 85 + 596 = 681 \, (\text{km/h})

Agora aplicamos o fator temporal \frac{\Delta t}{2}:
\text{Fator Temporal} = \frac{120 \text{ s}}{2} = 60 \text{ s}

Multiplicando pela soma das velocidades:
\text{Distância Bruta} = 60 \text{ s} \times 681 \text{ km/h} = 40860 \, \text{s} \cdot \text{km/h}

Por fim, convertemos para metros. Sabemos que $1 \text{ km/h} \times 1 \text{ s} = \frac{1000}{3600} \text{ m} = \frac{1}{3.6} \text{ m}$:
D = \frac{40860}{3.6} = 11350 \text{ metros}

Conclusão

O cálculo resulta exatamente em 11.350 metros, o que corresponde à alternativa C.

Alternativa C