Analise os intervalos onde a função polinomial definida por (f(x) = x³ + 6x² + 4x - 8) possui concavidade positiva.

Alternativa E

Para determinar onde uma função possui concavidade positiva, precisamos analisar o sinal da sua segunda derivada. Quando a segunda derivada é maior que zero (f''(x) > 0), a curva da função abre-se para cima, como uma tigela.

Abaixo, realizamos o cálculo passo a passo para encontrar o intervalo correto.

Passo a Passo do Cálculo

1. Função Original:
   f(x) = x^3 + 6x^2 + 4x - 8
2. Primeira Derivada (f'(x)):
   Aplicamos a regra da potência (nx^{n-1}) em cada termo:

• Derivada de x^3 é $3x^2$
• Derivada de $6x^2$ é $12x$
• Derivada de $4x$ é $4$
• Derivada de constante (-8) é $0$

Resultado:
f'(x) = 3x^2 + 12x + 4

1. Segunda Derivada (f''(x)):
   Derivamos novamente o resultado anterior:

• Derivada de $3x^2$ é $6x$
• Derivada de $12x$ é $12$
• Derivada de constante (4) é $0$

Resultado:
f''(x) = 6x + 12

1. Condição de Concavidade Positiva:
   Impomos a condição de que a segunda derivada deve ser positiva:
   f''(x) > 0
   6x + 12 > 0

Isolando a variável x:
6x > -12
x > -\frac{12}{6}
x > -2

Conclusão

O intervalo onde a função possui concavidade positiva é todo número real maior que -2. Em notação de intervalo, isso é representado por (-2; +\infty).

Portanto, a alternativa correta é a E.