Anteriormente à aplicação do método da bissecção para determinação das raízes de uma função, devemos calcular o número mínimo de iterações e, com isso, checar a viabilidade da utilização do método. Assim, considere a função f(x) = x + ln(x) e uma tolerância ε ≤ 0,04375. Ao utilizarmos o método da bissecção, qual o número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz λ pertencente ao intervalo [0,1; 1,5] ?

Alternativa E

Para determinar o número mínimo de iterações no método da bisseção, utilizamos a fórmula relacionada ao erro máximo permitido após n passos. O objetivo é garantir que o intervalo restante seja menor ou igual à tolerância desejada.

Fundamentação Teórica

O erro máximo E_n após n iterações no método da bisseção é calculado pela metade do tamanho inicial do intervalo dividido por $2^n$. A desigualdade para encontrar o número mínimo de iterações é:

Onde:

• a e b são os extremos do intervalo inicial.
• \epsilon é a tolerância máxima permitida.
• n é o número de iterações.

Cálculo Passo a Passo

1. Identificar os dados do problema:

• Intervalo inicial: [a, b] = [0,1; 1,5]
• Tolerância: \epsilon \leq 0,04375

1. Calcular o comprimento do intervalo inicial (b - a):
   1,5 - 0,1 = 1,4
2. Substituir na fórmula da desigualdade:
   \frac{1,4}{2^n} \leq 0,04375
3. Isolar $2^n$:
   Multiplicando ambos os lados por $2^n$ e dividindo por $0,04375$:
   2^n \geq \frac{1,4}{0,04375}
4. Resolver a divisão:
   Ao realizar a conta \frac{1,4}{0,04375}, obtemos exatamente $32$.
   2^n \geq 32
5. Encontrar o valor de n:
   Sabemos que as potências de 2 são:

• $2^1 = 2$
• $2^2 = 4$
• $2^3 = 8$
• $2^4 = 16$
• $2^5 = 32$

Portanto, n = 5.

Conclusão

O número mínimo de iterações necessário para atingir a precisão solicitada é 5. Isso corresponde à alternativa E.