Antes de aplicarmos o método da bissecção para determinação das raízes de uma equação, devemos calcular o número mínimo de iterações e, com isso, checar a viabilidade do método. Em vista disso, para calcular a raiz da função f(x) = x² + ln(x), pelo método da bissecção, com uma tolerância ε ≤ 10⁻², no intervalo [0,5;0,9], são necessárias, no mínimo:

Alternativa E - 6 iterações.

Análise do Problema

Para determinar o número mínimo de iterações no Método da Bisseção, utilizamos a fórmula que relaciona o tamanho do intervalo inicial com a tolerância desejada. O objetivo é garantir que o erro máximo seja menor ou igual à tolerância especificada.

1. Fórmula do Erro na Bisseção

O erro máximo aproximado E_n após n iterações é calculado pela metate do intervalo atualizado. A condição para atingir a precisão desejada é:

Onde:

• a e b são os limites do intervalo inicial.
• n é o número de iterações.
• \epsilon é a tolerância máxima permitida.

2. Identificação dos Dados

Com base no enunciado da questão:

• Intervalo inicial: [0,5; 0,9]. Em notação decimal padrão: [0.5; 0.9].
• a = 0.5
• b = 0.9
• Tamanho do intervalo: b - a = 0.9 - 0.5 = 0.4
• Tolerância (\epsilon): $10^{-2} = 0.01$

3. Cálculo do Número de Iterações (n)

Substituindo os valores na inequação:

Isolando $2^n$:

Agora, precisamos encontrar o menor inteiro n tal que $2^n$ seja maior ou igual a 40. Vamos testar as potências de 2:

Como $2^5 = 32$ não satisfaz a condição ($32 < 40$), mas $2^6 = 64$ satisfaz ($64 > 40$), o número mínimo de iterações necessárias é 6.

Conclusão

Para garantir uma tolerância de erro inferior a $0.01$ no intervalo [0.5, 0.9], são necessárias 6 iterações. Portanto, a alternativa correta é a E.