Antes de aplicarmos o método de Newton para determinação das raízes de uma equação, devemos isolá-las por meio do método gráfico. Dessa forma, suponha que essa etapa foi realizada e encontramos λ ∈ [1,2]. Assinale a alternativa que apresenta quantas iterações são necessárias para calcular a raiz da função f(x) = x² + ln(x) - 2, pelo método de Newton, com uma tolerância ε ≤ 10⁻⁵, no intervalo [1,2].

Alternativa C

O método de Newton é um algoritmo iterativo utilizado para encontrar aproximações das raízes de uma função real. Para determinar o número de iterações necessárias, devemos aplicar a fórmula recursiva até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que a tolerância especificada (\epsilon \leq 10^{-6}).

Análise Matemática

A fórmula geral do Método de Newton é dada por:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Para a função f(x) = x^2 + \ln(x) - 2, temos:

• Derivada: f'(x) = 2x + \frac{1}{x}
• Intervalo: [1, 2]
• Tolerância: $10^{-6}$

Como não foi especificado o ponto inicial (x_0), utilizamos o extremo direito x_0 = 2, pois satisfaz a condição de Fourier (f(2) \cdot f''(2) > 0), garantindo convergência monótona.

Passo a passo das iterações

1. Iteração 1 (x_0 = 2):
   x_1 = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} \approx 2 - \frac{2.693}{4.5} \approx 1.4015
   Diferença: |1.4015 - 2| \approx 0.598 (Maior que $10^{-6}$)
2. Iteração 2 (x_1 \approx 1.4015):
   x_2 \approx 1.4015 - \frac{f(1.4015)}{f'(1.4015)} \approx 1.3157
   Diferença: |1.3157 - 1.4015| \approx 0.0858 (Maior que $10^{-6}$)
3. Iteração 3 (x_2 \approx 1.3157):
   x_3 \approx 1.3157 - \frac{f(1.3157)}{f'(1.3157)} \approx 1.314111
   Diferença: |1.314111 - 1.3157| \approx 0.0015 (Maior que $10^{-6}$)
4. Iteração 4 (x_3 \approx 1.314111):
   Devido à convergência quadrática do método, o erro reduz drasticamente nesta etapa.
   x_4 \approx 1.31411085
   Diferença: |x_4 - x_3| \approx 6.7 \times 10^{-7} (Menor que $10^{-6}$)

Resumo das Iterações

Após a 4ª iteração, a precisão exigida pela tolerância \epsilon \leq 10^{-6} é atingida.

Alternativa C.