Antes de aplicarmos o método de Newton para determinação das raízes de uma equação, devemos isolá-las por meio do método gráfico. Dessa forma, suponha que essa etapa foi realizada e encontramos λ ∈ [1,2]. Assinale a alternativa que apresenta quantas iterações são necessárias para calcular a raiz da função f(x) = x² + ln(x) − 2 , pelo método de Newton, com uma tolerância ε ≤ 10⁻⁶, no intervalo [1,2].

Question

Antes de aplicarmos o método de Newton para determinação das raízes de uma equação, devemos isolá las por meio do método gráfico. Dessa forma, suponha que essa etapa foi realizada e encontramos λ ∈ [1,2]. Assinale a alternativa que apresenta quantas iterações são necessárias para calcular a raiz da função f(x) = x² + ln(x) − 2 , pelo método de Newton, com uma tolerância ε ≤ 10⁻⁶, no intervalo [1,2]. A) 2 iterações. B) 3 iterações. C) 4 iterações. D) 5 iterações. E) 6 iterações.

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa C O Método de Newton Raphson é uma técnica iterativa poderosa para encontrar raízes de funções não lineares. Para resolver este problema, precisamos aplicar a fórmula padrão até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que a tolerância dada ($\epsilon \leq 10^{ 6}$). Fórmula e Derivada A regra de atualização para o método de Newton é: $$x {n+1} = x n \frac{f(x n)}{f'(x n)}$$ Primeiro, calculamos a derivada da função $f(x) = x^2 + \ln(x) 2$: $$f'(x) = 2x + \frac{1}{x}$$ Como não foi especificado um ponto inicial ($x 0$), assumimos o ponto médio do intervalo $[1, 2]$, ou seja, $x 0 = 1,5$ . Simulação das Iterações Vamos calcular os valores aproximados passo a passo para verificar a convergência: Iteração 1: Calcula se $x 1$ a partir de $x 0 = 1,5$. Resultado aproximado: $x 1 \approx 1,32125$ . Erro estimado: $|1,5 1,32125| \approx 0,18$ (muito maior que $10^{ 6}$). Iteração 2: Calcula se $x 2$ a partir de $x 1$. Resultado aproximado: $x 2 \approx 1,31416$ . Erro estimado: $|1,32125 1,31416| \approx 0,007$ (ainda maior que $10^{ 6}$). Iteração 3: Calcula se $x 3$ a partir de $x 2$. Resultado aproximado: $x 3 \approx 1,31413$ . Erro estimado: $|1,31416 1,31413| \approx 0,00003$. Observação: O erro é $3 	imes 10^{ 5}$, que ainda é superior à tolerância de $10^{ 6}$ ($0,000001$). Portanto, mais uma iteração é necessária. Iteração 4: Calcula se $x 4$ a partir de $x 3$. Devido à convergência quadrática do método, o erro diminui drasticamente. A diferença $|x 4 x 3|$ cairá na ordem de $10^{ 10}$, atendendo ao critério de parada. Conclusão Como a precisão exigida ($10^{ 6}$) só é atingida após o cálculo da quarta aproximação, são necessárias 4 iterações para garantir a solução com a tolerância solicitada. Alternativa C.

Explicação passo a passo

Fórmula e Derivada

Simulação das Iterações

Conclusão

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