Ao se analisar campos vetoriais, algumas características são de grande interesse para sua classificação como sendo conservativos ou não conservativos. Considere o campo vetorial F(x, y) = (2,2y). Considere também dois caminhos através dos quais se calcule a integral de linha desse campo: r(t) = (t,2t), 0 ≤ t ≤ 1 e c(t) = (t³, 2t³), 0 ≤ t ≤ 1. Julgue as afirmações abaixo usando as afirmações acima. A integral de linha sobre r(t) é igual a 6 A integral de linha sobre c(t) é igual a 6 O campo vetorial descrito é conservativo Sobre uma curva fechada, este campo vetorial tem integral de linha diferente de zero

Alternativa: I, II e III

Esta questão envolve o cálculo de integrais de linha em um campo vetorial conservativo. O objetivo é verificar a veracidade de quatro afirmações sobre a propriedade do campo e os valores das integrais em diferentes caminhos.

O ponto chave para resolver esta questão é identificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, o que simplifica muito os cálculos.

Análise Matemática

Para determinar se o campo é conservativo, verificamos a igualdade das derivadas parciais cruzadas (o rotacional deve ser zero).

Dado o campo vetorial:
F(x, y) = (2, 2y)

Identificamos as componentes P(x,y) = 2 e Q(x,y) = 2y.

1. Verificação de Conservatividade:
   Calculamos as derivadas parciais:
   \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2) = 0
   \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2y) = 0

Como \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, o campo é conservativo. Isso confirma a afirmação III.

1. Função Potencial:
   Para um campo conservativo, existe uma função potencial f tal que \nabla f = F.

• De f_x = 2, obtemos f(x, y) = 2x + g(y).
• Derivando em relação a y: f_y = g'(y) = 2y \Rightarrow g(y) = y^2.

Logo, a função potencial é:
f(x, y) = 2x + y^2

1. Cálculo das Integrais:
   Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, a integral depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido.

• **Caminho r(t)$**: Começa em $t=0 \Rightarrow (0,0) e termina em t=1 \Rightarrow (1, 2).
• **Caminho c(t)$**: Começa em $t=0 \Rightarrow (0,0) e termina em t=1 \Rightarrow (1, 2).

Ambos os caminhos conectam os pontos A(0,0) e B(1,2).
O valor da integral é:
\int_{C} F \cdot dr = f(1, 2) - f(0, 0)
= [2(1) + 2^2] - [2(0) + 0^2]
= (2 + 4) - 0 = 6

Como o resultado é 6 para ambos os caminhos, as afirmações I e II estão corretas.

Julgamento das Afirmações

• I – A integral de linha sobre r(t) é igual a 6: Verdadeiro. O cálculo acima confirma o valor 6.
• II – A integral de linha sobre c(t) é igual a 6: Verdadeiro. O campo é conservativo, então o caminho não altera o resultado.
• III – O campo vetorial descrito é conservativo: Verdadeiro. O rotacional é nulo (\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}).
• IV – Sobre uma curva fechada, este campo vetorial tem integral de linha diferente de zero: Falso. Em campos conservativos, a integral sobre qualquer curva fechada é sempre zero.

Conclusão

As afirmações corretas são I, II e III. A afirmação IV é falsa porque campos conservativos possuem integral nula em curvas fechadas.