Ao tentar calcular \lim_{x\to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} obtém-se uma indeterminação do tipo 0/0. Qual é o valor correto deste limite após remover a indeterminação?

Alternativa D

O problema apresenta um cálculo de limite que resulta inicialmente em uma indeterminação da forma \frac{0}{0}. Para encontrar o valor real, precisamos simplificar a expressão algébrica antes de fazer a substituição direta.

Passo a passo da resolução:

1. Identificar a indeterminação:
   Ao substituir x = 3 na expressão \frac{x^2 - 9}{x - 3}, obtemos:
   \frac{3^2 - 9}{3 - 3} = \frac{9 - 9}{0} = \frac{0}{0}
   Isso indica que não podemos simplesmente substituir o valor; é necessário manipular a fração.
2. Fatorar o numerador:
   O termo x^2 - 9 é uma diferença de quadrados, que segue a fórmula a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
   Portanto:
   x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
3. Simplificar a fração:
   Reescrevemos o limite com o numerador fatorado:
   \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}
   Como estamos calculando o limite quando x tende a 3 (mas não é igual a 3), o termo (x - 3) é diferente de zero e pode ser cancelado no numerador e denominador:
   \lim_{x \to 3} (x + 3)
4. Calcular o valor final:
   Agora, fazemos a substituição direta de x = 3:
   3 + 3 = 6

Análise das Alternativas

A resposta correta é a Alternativa D.