Aplique a Transformada de Laplace para resolver cada equação diferencial abaixo, com as condições iniciais dadas (PVI) e obtenha a solução no domínio do tempo.

Para resolver as equações diferenciais usando a Transformada de Laplace, seguimos os passos básicos: transformar a equação, aplicar as condições iniciais, resolver para Y(s) e, finalmente, calcular a transformada inversa.

Parte (a): y'' - y' - 6y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -1

• Transformada de Laplace: s^2Y(s) - s(1) + 1 - [sY(s) - 1] - 6Y(s) = 0.
• Simplificando: (s^2 - s - 6)Y(s) = s - 2.
• Fatoração: (s - 3)(s + 2)Y(s) = s - 2.
• Frações parciais: Y(s) = \frac{1/5}{s - 3} + \frac{4/5}{s + 2}.
• Transformada inversa: y(t) = \frac{1}{5}e^{3t} + \frac{4}{5}e^{-2t}.

Parte (b): y'' - 2y' + 2y = e^{-t}, y(0) = 0, y'(0) = 1

• Transformada de Laplace: s^2Y(s) - 1 - 2sY(s) + 2Y(s) = \frac{1}{s + 1}.
• Simplificando: (s^2 - 2s + 2)Y(s) = \frac{s + 2}{s + 1}.
• Frações parciais e completando o quadrado: Y(s) = \frac{1}{5(s + 1)} + \frac{-s + 8}{5[(s - 1)^2 + 1]}.
• Transformada inversa: y(t) = \frac{1}{5}e^{-t} + \frac{1}{5}e^{t}(-\cos t + 7\sin t).

Parte (c): y'' + 2y' + y = u(t), y(0) = 2, y'(0) = -1

• Transformada de Laplace de u(t) é \frac{1}{s}.
• Equação: s^2Y(s) - 2s + 1 + 2sY(s) - 4 + Y(s) = \frac{1}{s}.
• Simplificando: (s + 1)^2Y(s) = \frac{2s^2 + 3s + 1}{s}.
• Frações parciais: Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{1}{s + 1}.
• Transformada inversa: y(t) = 1 + e^{-t} (para t \geq 0).

Parte (d): 12y'' + 3y' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

• Transformada de Laplace: 12s^2Y(s) - 12s + 3sY(s) - 3 + 2Y(s) = 0.
• Simplificando: (12s^2 + 3s + 2)Y(s) = 12s + 3.
• Completando o quadrado no denominador: 12\left(s + \frac{1}{8}\right)^2 + \frac{29}{16}.
• Transformada inversa: y(t) = e^{-t/8} \left[ \cos\left(\frac{\sqrt{87}}{24}t\right) + \frac{1}{\sqrt{87}}\sin\left(\frac{\sqrt{87}}{24}t\right) \right].

Conclusão: Cada equação é resolvida aplicando a Transformada de Laplace, substituindo as condições iniciais e realizando decomposição em frações parciais (quando necessário), seguido da transformada inversa. Os resultados dependem da estrutura da equação diferencial e das condições iniciais dadas.