As derivadas parciais com relação a x e y fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis f(x,y) quando as direções correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível determinar a derivada da função f(x,y) com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário. Com base nisso, conceitue a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por $D_u f(x,y) = abla f(x,y) ullet u$. Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional f(0,2) na direção do vetor u = (1,1).

Alternativa A

Para resolver esta questão sobre a derivada direcional, devemos seguir rigorosamente os passos definidos pelo conceito matemático apresentado no enunciado. O ponto crucial é garantir que o vetor diretor seja um vetor unitário, conforme especificado na fórmula D_u f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot u.

Aqui está o passo a passo da resolução:

1. Calcular o Gradiente da Função (\nabla f)
   A função dada é f(x,y) = xy. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
   \nabla f(x,y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

• Derivada em relação a x: \frac{\partial}{\partial x}(xy) = y
• Derivada em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}(xy) = x

Logo, \nabla f(x,y) = \langle y, x \rangle.

1. Avaliar o Gradiente no Ponto $P(0,2)$
   Substituímos x=0 e y=2 no gradiente calculado:
   \nabla f(0,2) = \langle 2, 0 \rangle
2. Normalizar o Vetor Direcional
   O enunciado pede a direção do vetor v = (1,1). Como a definição exige um vetor unitário, precisamos calcular sua magnitude e dividi-lo por ela:

• Módulo: |v| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
• Vetor Unitário (u):
  u = \frac{v}{|v|} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)

1. Calcular a Derivada Direcional
   Aplicamos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:
   D_u f(0,2) = \nabla f(0,2) \cdot u
   D_u f(0,2) = \langle 2, 0 \rangle \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
   D_u f(0,2) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
   D_u f(0,2) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

Análise dos Conceitos

• Gradiente: Representa a direção de maior crescimento da função. Ele é sempre perpendicular às curvas de nível.
• Vetor Unitário: É obrigatório normalizar o vetor de direção antes de aplicar a fórmula padrão do produto escalar para derivadas direcionais. Se não fosse necessário, o resultado seria 2 (alternativa B), mas isso violaria a definição apresentada no texto.
• Produto Escalar: Multiplicação componente a componente que resulta em um valor escalar representando a taxa de variação naquela direção específica.

Portanto, a alternativa correta é a A.