As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma f(x)dx + g(y)dy = 0 são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade. Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir: A solução da equação 2x³y²dx + 7xy³dy = 0 é 4x³ + 21y² = C. II. A solução da equação dy/dx + 2xy = 0 é ln|y| = x² + C. III. A solução da equação dy/dx = sen(5x) é y = -cos(5x)/5 + C. IV. A solução da equação dy/dx = sen(5x) é y = cos(5x) + C.

Alternativa A

A questão aborda o método de resolução de equações diferenciais separáveis, que podem ser escritas na forma f(x)dx + g(y)dy = 0. O processo consiste em separar as variáveis x e y em lados opostos da igualdade e integrar ambos os membros.

Vamos analisar cada afirmativa individualmente para verificar sua veracidade:

Análise das Afirmações

• Afirmação I (Correta):
  A equação é $2x^3y^2 dx + 7xy^3 dy = 0$.
  Para separar, dividimos por xy^2:
  2x^2 dx + 7y dy = 0
  Integrando ambos os lados:
  \int 2x^2 dx + \int 7y dy = C_1
  \frac{2x^3}{3} + \frac{7y^2}{2} = C_1
  Multiplicando toda a equação por 6 para eliminar frações:
  4x^3 + 21y^2 = C
  Portanto, a afirmação está correta.
• Afirmação II (Incorreta):
  A equação é \frac{dy}{dx} + 2xy = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -2xy.
  Separamos as variáveis:
  \frac{dy}{y} = -2x dx
  Integrando:
  \ln|y| = -x^2 + C
  A afirmação apresenta +x^2, ignorando o sinal negativo do termo -2x. Logo, está errada.
• Afirmação III (Correta):
  A equação é \frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
  Separamos as variáveis:
  y dy = -x dx
  Integrando:
  \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C_1
  Multiplicando por 2:
  y^2 = -x^2 + 2C_1 \Rightarrow x^2 + y^2 = C
  Portanto, a afirmação está correta.
• Afirmação IV (Incorreta):
  A equação é dy = \text{sen}(5x) dx.
  Integrando diretamente:
  \int dy = \int \text{sen}(5x) dx
  y = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C
  A afirmação esquece o coeficiente -\frac{1}{5} e o sinal negativo decorrente da integral do seno. Logo, está errada.

Conclusão

As únicas afirmativas corretas são a I e a III. Isso corresponde à alternativa A.