As equações diferenciais não possuem um regra de resolução. O método de resolução diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma f(x)dx + g(y)dy = 0 são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade. Com base no método de solução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir: A solução da equação 2x³y²dx + 7xy³dy = 0 é 4x³ + 21y² = C. II. A solução da equação ∂y/∂x + 2xy = 0 é y = x² + C. III. A solução da equação ∂y/∂x = sen(5x) dx é y = cos(5x) + C. IV. A solução da equação ∂y/∂x = 2xy é y = x² + C. É correto o que se afirma em:

Alternativa A

Para determinar a resposta correta, precisamos verificar a validade de cada afirmativa resolvendo as equações diferenciais apresentadas. O método utilizado será o de separação de variáveis, conforme indicado no enunciado.

Análise das Afirmações

Afirmativa I: Correta

Equação: $2x^3y^2 dx + 7xy^3 dy = 0$

Para separar as variáveis, podemos dividir toda a equação pelo termo comum xy^2 (assumindo x \neq 0 e y \neq 0):
\frac{2x^3y^2}{xy^2} dx + \frac{7xy^3}{xy^2} dy = 0
2x^2 dx + 7y dy = 0

Agora integramos ambos os lados:
\int 2x^2 dx + \int 7y dy = C
\frac{2x^3}{3} + \frac{7y^2}{2} = C

Para eliminar as frações, multiplicamos tudo por 6 (mínimo múltiplo comum de 3 e 2):
6 \left( \frac{2x^3}{3} \right) + 6 \left( \frac{7y^2}{2} \right) = 6C
4x^3 + 21y^2 = C_{nova}

A solução apresentada na afirmativa ($4x^3 + 21y^2 = C$) está correta.

Afirmativa II: Incorreta

Equação: \frac{dy}{dx} + 2xy = 0

Isolamos a derivada e separamos as variáveis:
\frac{dy}{dx} = -2xy
\frac{dy}{y} = -2x dx

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y} dy = \int -2x dx
\ln|y| = -x^2 + C

A afirmativa apresenta \ln|y| = x^2 + C. Note que o sinal do termo x^2 deveria ser negativo. Portanto, esta afirmativa está incorreta.

Afirmativa III: Correta

Equação: \frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = 0

Isolamos a derivada e separamos as variáveis:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
y dy = -x dx

Integramos ambos os lados:
\int y dy = \int -x dx
\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C_1

Multiplicando por 2 para simplificar:
y^2 = -x^2 + 2C_1
x^2 + y^2 = C

A solução apresentada na afirmativa ($x^2 + y^2 = C$) está correta.

Afirmativa IV: Incorreta

Equação: dy = \text{sen}(5x) dx

Esta equação já está separada. Basta integrar ambos os lados. Lembre-se da integral do seno composta: \int \text{sen}(ax) dx = -\frac{1}{a}\text{cos}(ax).

A afirmativa apresenta y = \text{cos}(5x) + C. Ela esqueceu o coeficiente -\frac{1}{5} e o sinal negativo devido à regra de integração. Portanto, esta afirmativa está incorreta.

Conclusão

As afirmativas corretas são I e III.

Portanto, a alternativa correta é a A.