Às vezes, calcular uma integral dupla ∫∫ f(x,y) dA, onde R é uma região em formato circular, usando coordenadas retangulares pode ser algo trabalhoso a se fazer. Porém, a descrição de R pode ser tomar mais simples fazendo o uso de coordenadas polares. Isto é, ∫∫ f(x,y) dA = ∫∫ f(r,θ) r dr dθ em que R = {(r,θ): a ≤ r ≤ b, 0 ≤ θ ≤ β}. Use coordenadas polares para calcular a integral ∫∫ (3x + 4y²) dA onde R = {(x,y): 1 ≤ x² + y² ≤ 4, y ≥ 0, 1 ≤ x ≤ √4 - x²}.

Alternativa A

O cálculo da integral dupla solicitada resulta em \frac{15\pi}{2}. Abaixo, apresento o passo a passo detalhado utilizando coordenadas polares.

Introdução ao Problema

A questão pede para calcular a integral \iint_R (3x + 4y^2) dA sobre a região R definida por y \geq 0 e $1 \leq x^2 + y^2 \leq 4$. Como a região envolve círculos, as coordenadas polares são ideais para simplificar os limites de integração.

As transformações necessárias são:

• x = r \cos(\theta)
• y = r \sin(\theta)
• dA = r \, dr \, d\theta (elemento de área com o fator jacobiano r)

Definição dos Limites de Integração

Analisando a definição da região R:

• A condição $1 \leq x^2 + y^2 \leq 4$ traduz-se diretamente em $1 \leq r^2 \leq 4$, ou seja, $1 \leq r \leq 2$.
• A condição y \geq 0 indica o semiplano superior. Em coordenadas polares, isso corresponde ao intervalo angular de $0 \leq \theta \leq \pi$.

Portanto, a integral transforma-se em:
I = \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} (3(r \cos \theta) + 4(r \sin \theta)^2) \cdot r \, dr \, d\theta

Desenvolvimento do Cálculo

Primeiro, simplificamos o integrando multiplicando pelo elemento de área r:
\text{Integrando} = (3r \cos \theta + 4r^2 \sin^2 \theta) \cdot r = 3r^2 \cos \theta + 4r^3 \sin^2 \theta

Passo 1: Integração em relação a r

Integramos termo a termo considerando \theta como constante:

• Para $3r^2 \cos \theta$: \left[ r^3 \cos \theta \right]_1^2 = (8 - 1)\cos \theta = 7\cos \theta
• Para $4r^3 \sin^2 \theta$: \left[ r^4 \sin^2 \theta \right]_1^2 = (16 - 1)\sin^2 \theta = 15\sin^2 \theta

Após esta etapa, a integral fica:
I = \int_{0}^{\pi} (7\cos \theta + 15\sin^2 \theta) \, d\theta

Passo 2: Integração em relação a \theta

Dividimos a integral em duas partes:

1. Parte $7\cos \theta$:
   \int_{0}^{\pi} 7\cos \theta \, d\theta = [7\sin \theta]_0^{\pi} = 7(0 - 0) = 0
   (Note que a integral de uma função ímpar $3x$ sobre um domínio simétrico em relação ao eixo y é nula).
2. Parte $15\sin^2 \theta$:
   Utilizamos a identidade trigonométrica fornecida na dica: \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}.
   \int_{0}^{\pi} 15 \left( \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \right) \, d\theta = \frac{15}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta
   Calculando a primitiva:
   \frac{15}{2} \left[ \theta - \frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_0^{\pi}
   Avaliando nos limites:
   \frac{15}{2} \left( (\pi - 0) - (0 - 0) \right) = \frac{15\pi}{2}

Conclusão

Somando os resultados das duas partes ($0 + \frac{15\pi}{2}$), obtemos o valor final da integral:
I = \frac{15\pi}{2}

Isso confirma que a Alternativa A está correta.