Assinale a alternativa INCORRETA:

Alternativa C

A questão solicita identificar a afirmativa INCORRETA sobre propriedades de integrais duplas. Para encontrar a resposta, é necessário analisar cada opção verificando se ela corresponde a um teorema válido ou realizar o cálculo explícito quando necessário.

As alternativas A, B e E representam propriedades fundamentais do cálculo integral que são sempre verdadeiras para funções contínuas em regiões retangulares. A alternativa C apresenta um valor numérico específico que deve ser calculado para verificar sua veracidade.

Análise das Alternativas

• Alternativa A: Correta. Refere-se ao Teorema de Fubini, que permite trocar a ordem de integração em regiões retangulares sem alterar o resultado, desde que a função seja contínua.
• Alternativa B: Correta. Representa a propriedade da linearidade da integral, onde a integral de uma soma é igual à soma das integrais.
• Alternativa C: Incorreta. Ao calcular a integral iterada apresentada, o resultado encontrado é zero, não 1.
• Alternativa E: Correta. Representa a propriedade de homogeneidade (escalar), onde uma constante pode ser fatorada para fora da integral.

Cálculo Detalhado da Alternativa C

Para provar que a alternativa C está errada, realizamos o cálculo passo a passo da integral iterada:

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a x, tratando y como constante:
\int_{1}^{2} y \sin(xy) \, dx = \left[ -\cos(xy) \right]_{x=1}^{x=2}
Substituindo os limites:
-\cos(2y) - (-\cos(y)) = \cos(y) - \cos(2y)

Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a y:
I = \int_{0}^{\pi} (\cos(y) - \cos(2y)) \, dy
Calculando a primitiva:
I = \left[ \sin(y) - \frac{1}{2}\sin(2y) \right]_{0}^{\pi}
Aplicando os limites de 0 a \pi:
I = (\sin(\pi) - \frac{1}{2}\sin(2\pi)) - (\sin(0) - \frac{1}{2}\sin(0))
Como \sin(\pi) = 0 e \sin(0) = 0:
I = 0 - 0 = 0

O resultado real é 0, enquanto a alternativa afirma que é 1. Portanto, a afirmação é falsa.

Conclusão

Dentre as opções apresentadas, apenas a Alternativa C contém uma informação matemática incorreta, pois viola o resultado obtido pelo cálculo direto da integral dupla. As demais alternativas descrevem corretamente as propriedades algébricas das integrais múltiplas.